Soluzioni
  • Si chiama differenza tra frazioni il risultato di una sottrazione tra frazioni, e si calcola in modi diversi a seconda che le frazioni coinvolte abbiano denominatori diversi oppure lo stesso denominatore.

    Per semplicità trattiamo i due casi separatamente.

    Partiamo da quello più semplice, ossia dalla differenza tra frazioni con lo stesso denominatore, dopodiché ci occupiamo della differenza tra frazioni con denominatori diversi.

    Differenza tra frazioni con lo stesso denominatore

    La differenza di due frazioni con lo stesso denominatore è quella frazione che ha come numeratore la differenza dei numeratori e come denominatore il denominatore di partenza.

    Dopo aver calcolato la differenza bisogna sempre verificare che la frazione ottenuta sia ridotta ai minimi termini, in caso contrario andrebbe ridotta opportunamente.

    Esempi di differenze tra frazioni con lo stesso denominatore

    1) (5)/(4)-(3)/(4)

    Le frazioni hanno lo stesso denominatore (4), pertanto la loro differenza è la frazione che ha come numeratore la differenza dei numeratori

    5-3 = 2

    e come denominatore 4:

    (5)/(4)-(3)/(4) = (2)/(4)

    Il risultato non è una frazione ridotta ai minimi termini, infatti numeratore e denominatore sono numeri divisibili per 2.

    Per ridurla dividiamo i termini della frazione per 2 e otteniamo:

    (5)/(4)-(3)/(4) = (2)/(4) = (1)/(2)

    2) (8)/(9)-(4)/(9)

    Velocizziamo il calcolo e scriviamo direttamente la frazione differenza, che ha come numeratore la sottrazione tra i numeratori e come denominatore il denominatore di partenza

    (8)/(9)-(4)/(9) = (8-4)/(9) =

    Calcoliamo la differenza a numeratore

    = (4)/(9)

    e abbiamo finito. Questa frazione è già ridotta ai minimi termini, infatti 4 e 9 sono numeri primi tra loro.

    Differenza tra frazioni con denominatori diversi

    Per calcolare una differenza di frazioni con denominatori diversi basta ricondurre le frazioni al denominatore comune. In questo modo ricadiamo nel caso precedente, ossia nel calcolo di una differenza tra frazioni con lo stesso denominatore.

    All'atto pratico si deve:

    • calcolare il minimo comune multiplo (mcm) tra i denominatori delle frazioni coinvolte.

    • Sostituire ogni frazione con la rispettiva frazione equivalente, che ha come denominatore il mcm calcolato nel passaggio precedente. Se non sai come fare ti basta sapere che queste frazioni hanno:

    - come denominatore, il mcm tra i denominatori delle frazioni di partenza;

    - come numeratore, il prodotto tra il vecchio numeratore e il risultato della divisione tra il nuovo denominatore e il vecchio denominatore.

    • Sottrarre le frazioni così ottenute, che a questo punto hanno lo stesso denominatore, e se necessario ridurre la frazione differenza ai minimi termini.

    Con un esempio sarà tutto più chiaro.

    Esempio di differenza tra frazioni con denominatori diversi

    (5)/(12)-(3)/(10)

    Calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori, che sono 12 e 10. Scomponiamoli in fattori primi:

     12 = 2^2×3 ; 10 = 2×5

    Il mcm tra 12 e 10 è uguale al prodotto tra i fattori comuni e non comuni delle due scomposizioni, presi una sola volta e con l'esponente maggiore:

    mcm(12,10) = 2^2×3×5 = 60

    Troviamo le frazioni equivalenti.

    La frazione equivalente a (5)/(12) e con denominatore 60 ha come numeratore il prodotto tra il vecchio numeratore (5) e il risultato della divisione tra il nuovo denominatore (60) e il vecchio denominatore (12)

    (5)/(12) → (5×(60:12))/(60) = (5×5)/(60) = (25)/(60)

    La frazione equivalente a (3)/(10) e con denominatore 60 si calcola esattamente allo stesso modo

    (3)/(10) → (3×(60:10))/(60) = (3×6)/(60) = (18)/(60)

    Ci siamo ricondotti a due frazioni con lo stesso denominatore

    (5)/(12)-(3)/(10) = (25)/(60)-(18)/(60) = (25-18)/(60) = (7)/(60)

    La frazione differenza è ridotta ai minimi termini perché tra i divisori primi di 60 non c'è il numero 7, dunque abbiamo finito.

    Altro metodo per la differenza di frazioni con denominatori diversi

    Dopo avere acquisito un po' pratica, per calcolare la differenza tra frazioni con denominatori diversi si usa un metodo equivalente al precedente ma molto più veloce. Spieghiamolo direttamente con un esempio.

    (8)/(7)-(3)/(5)

    • Troviamo il minimo comune multiplo tra i denominatori

    mcm(7,5) = 35

    • Impostiamo subito la frazione differenza: tracciamo una linea di frazione, scriviamo a denominatore il minimo comune multiplo e a numeratore due spazi vuoti separati dal segno meno

    (8)/(7)-(3)/(5) = (...-...)/(35)

    • Troviamo i numeri da inserire negli spazi a numeratore:

    - il primo si calcola dalla prima frazione; si ottiene dividendo il denominatore comune per il denominatore della prima frazione e moltiplicando il risultato per il suo numeratore

    (8)/(7) → (35:7)×8 = 5×8 = 40

    - il secondo si ricava in modo analogo dalla seconda frazione

    (3)/(5) → (35:5)×3 = 7×3 = 21

    • Riempiamo gli spazi a numeratore e calcoliamo la differenza

    (8)/(7)-(3)/(5) = (40-21)/(35) = (19)/(35)

    La frazione differenza è ridotta ai minimi termini e non dobbiamo fare altro.

    ***

    Per concludere ti suggeriamo di:

    - fare un ripasso di tutte le operazioni con le frazioni;

    - consultare la scheda di esercizi su somma e differenza di frazioni;

    - usare lo strumento risolvi espressioni per controllare i risultati degli esercizi.

    Risposta di Galois
 
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