Soluzioni
  • Ciao Namis,

    ho visto la tua domanda, adesso risposndo!

    Risposta di Alpha
  • La matrice da studiare è

    A=\left[\begin{matrix}2 & 0 & -2\\ 0 & 4 & 0\\ -2 & 0 & 2\end{matrix}\right]

    Per calcolare gli autovalori della matrice calcoliamo il polinomio caratteristico come determinante di

    A-t\cdot I=\left[\begin{matrix}2-t & 0 & -2\\ 0 & 4-t & 0\\ -2 & 0 & 2-t\end{matrix}\right]

    Il metodo più conveniente per calcolare il determinante di questa matrice è utilizzare il metodo dei minori complementari sulla seconda riga, quindi il determinante è dato da

    (4-t)[(2-t)^2-4]=(4-t)[4+t^2-4t-4]=(4-t)t(t-4)=t(t-4)^2

    Quindi gli autovalori sono t1=0 e t2=4 con molteplicità algebrica rispettivamente 1 e 2.

    Per calcolare la molteplicità geometrica di ciascun autovalore e discutere la diagonalizzabilità della matrice devi applicare la solita regola:

    \mbox{m.g.}(t)=\mbox{dim}(V)-\mbox{Rg}(A-t\cdot I)

    se ogni autovalore ha mg=ma allora la matrice è diagonalizzabile.

    Se hai problemi con il calcolo del rango scrivi pure!

    Per il resto dai un'occhiata alla lezione sulle matrici diagonalizzabili...la troverai utilissima! ;) 

    Alpha.

    Risposta di Alpha
  • Ho capito tutto. Ora mi è sorta una piccola curiosità: ma dim V sarebbe il numero dei vettori della matrice di partenza? li devo ridurre a gradini oppure mi basta semplicemente contare di quanti vettori è formata (cioè l'esercizio me la da sempre indipendente)?

    Solo un'altra cosa: è chiaro che avete usato 4-t come moltiplicatore del determinante perchè è circondato da zeri e quindi ci conviene. Ma nel caso non fosse stato circondato da zeri, come avrei dovuto procedere? Se avessi supposto di prendere 2-t come moltiplicatore? o di solito non capita mai, nel senso che c'è sempre un moltiplicatore "circondato da zeri"?

    Risposta di namis
  • Per la prima domanda, sì: la dimensione di V è il numero dei vettori colonna della matrice.

    Per la seconda domanda, essendo la matrice 3x3, puoi anche usare la regola di Sarrus. Se invece usi il metodo delle matrici complementari, dovendo usare le righe, come giustamente hai fatto notare conviene considerare la riga con più zeri.

    Se invece vuoi usare un elemento qualunque, devi semplicemente prendere la matrice complementare, cioè la matrice data dalla matrice di partenza a cui togli riga e colonna dell'elemento.

    Namastè - Agente \Omega

    Risposta di Omega
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