Soluzioni
  • Per comprendere come si calcola il prodotto tra due frazione algebriche dovremo fare riferimento alla seguente regola fondamentale:

    Il prodotto di due frazioni algebriche è ancora una frazione algebrica che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.

    Questa è proprio la definizione che gli insegnanti forniscono, ma all'atto pratico è necessario effettuare qualche passaggio in più:

    1. scomponiamo in fattori i numeratori e i denominatori. Può certamente esserti d'aiuto conoscere tutti i prodotti notevoli;

    2. imponiamo le condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori presenti siano diversi da zero;

    3. semplifichiamo tutto ciò che può essere semplificato, se è necessario anche a "croce";

    4. moltiplichiamo tra loro i numeratori, il loro prodotto sarà il numeratore della frazione algebrica, e i denominatori, il loro prodotto sarà il denominatore.

    L'unico passaggio a cui bisogna stare più attenti è il primo. La scomposizione in fattori richiede un certo "occhio". 

    Esempio: vogliamo calcolare il prodotto tra frazioni algebriche

    \frac{a^2+ 2 ab+ b^2}{a^2-b^2}\cdot \frac{a^3-a^2 b}{a^4+ a^3b}

    Scomponiamo tutti i polinomi presenti:

    \bullet\,\,a^2+2 a b+b^2= (a+b)^2 [è un quadrato di binomio]

    \bullet\,\, a^2- b^2= (a+b)(a-b) [è una differenza di quadrati]

    \bullet\,\, a^3-a^2 b= a^2(a-b) [raccoglimento a fattore comune]

    a^4+ a^3 b= a^3(a+b) [anche qui abbiamo raccolto il fattore comune]

    Riscriveremo il prodotto come:

    \frac{(a+b)^2}{(a+b)(a-b)}\cdot \frac{a^2 (a- b)}{a^3 (a+b)}

    Attenzione ora: dobbiamo pretendere che i denominatori presenti siano diversi da zero, altrimenti le frazioni algebriche perdono di significato: dividere per zero è impossibile!

    Lavoriamo con il denominatore della prima frazione:

    (a+b)(a-b)\ne 0\implies a\ne b\vee a\ne -b.

    Con il denominatore della seconda frazione algebrica:

    a^3 (a+b)\ne 0 \implies a\ne 0 \vee a\ne -b

    Scriveremo:

    C.E:\,\, a\ne 0\vee a\ne b\vee a\ne -b

    Semplifichiamo tutto ciò che può essere semplificato:

    - Possiamo semplificare (a+b)^2 con (a+b) tra numeratore e denominatore della prima frazione algebrica:

    \frac{a+b}{a-b}\cdot \frac{a^2 (a- b)}{a^3 (a+b)}

    - Semplificheremo inoltre a^2 con a^3

    \frac{a+b}{a-b}\cdot \frac{ a- b}{a (a+b)}

    - Notiamo che a+b appare sia al numeratore della prima frazione che al denominatore della seconda, possiamo procedere semplificando a croce! :D

    \frac{1}{a-b}\cdot \frac{ a- b}{a}

    - Ancora un'ultima semplificazione! Abbiamo un a-b al denominatore della prima frazione e al numeratore della prima frazione; possiamo semplificare!

    \frac{1}{1}\cdot \frac{1}{a}

    Diamo il colpo di grazia moltiplicando numeratore con numeratore e denominatore con denominatore:

    \frac{1}{1}\cdot \frac{ 1}{a}= \frac{1}{a}

     

    Nel caso avessi ancora dubbi, cosa sono le frazioni algebriche è una lezione che può aiutarti!

    Risposta di Ifrit
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