Soluzioni
  • La proprietà del prodotto di potenze stabilisce che il prodotto di due potenze aventi la stessa base è uguale alla base elevata alla somma degli esponenti.

    In una formula:

    a^n\cdot a^m=a^{n+m}

    Si tratta di una famosissima proprietà delle potenze che si rivela utile praticamente in tutti gli esercizi possibili e immaginabili. È molto importante saperla usare bene, e fortunatamente non è affatto complicata. ;)

    Dimostrazione

    Non dobbiamo fare altro che usare la definizione di potenza:

    a^n\cdot a^m=\overbrace{a\cdot a\cdot ...\cdot a}^{n\mbox{ volte}}\cdot\overbrace{a\cdot a\cdot ...\cdot a}^{m\mbox{ volte}}=\\ \\ =\overbrace{a\cdot a\cdot ...\cdot a}^{n+m\mbox{ volte}}=a^{n+m}

    Esempi sul prodotto di due potenze con la stessa base

    2^2\cdot 2^3

    Da una parte possiamo fare i conti a mano e determinare il risultato svolgendo le singole potenze, per poi calcolarne il prodotto

    2^2\cdot 2^3=4\cdot 8=32

    Dall'altra, grazie alla proprietà relativa al prodotto delle potenze con la stessa base, possiamo limitarci a considerare la potenza avente come base la base comune e come esponente la somma degli esponenti

    2^2\cdot 2^3=2^{2+3}=2^{5}=32

    Stesso discorso con potenze di frazioni. Non cambia nulla. L'importante è che i due termini del prodotto abbiano la stessa base.

    \left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3=\left(\frac{1}{3}\right)^{2+3}=\left(\frac{1}{3}\right)^5=\frac{1}{3^5}=\frac{1}{243}

    Discorso analogo anche per le potenze con esponenti negativi. Basta fare attenzione ai segni:

    5^4\cdot 5^{-7}\cdot 5^2\cdot 5^{-3}=5^{4+(-7)+2+(-3)}=5^{4-7+2-3}=5^{-4}

    Prodotto di due potenze con basi diverse e stesso esponente

    Se abbiamo a che fare con il prodotto tra due potenze aventi basi diverse, in generale non possiamo dire nulla a priori.

    Se però il prodotto è tra due potenze con lo stesso esponente, allora possiamo ricorrere a un'altra regola: il prodotto di due potenze con lo stesso esponente è uguale alla potenza avente come base il prodotto delle basi, e come esponente l'esponente di partenza.

    In una formula è tutto più semplice:

    a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n

    È importante notare che questa proprietà è l'esatto inverso della regola per la potenza del prodotto, secondo cui la potenza di un prodotto è uguale al prodotto delle potenze dei due fattori elevati all'esponente di partenza. Per capirlo basta osservare la formula appena scritta e leggerla da destra verso sinistra.

    a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n\ \ \longleftrightarrow\ \ (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n

    Dimostrazione

    Usiamo la definizione di potenza e la proprietà commutativa

    a^n\cdot b^n=\overbrace{a\cdot a\cdot ...\cdot a}^{n\mbox{ volte}}\cdot \overbrace{b\cdot b\cdot ...\cdot b}^{n\mbox{ volte}}=\\ \\ =\overbrace{(a\cdot b)\cdot (a\cdot b)\cdot ...\cdot (a\cdot b)}^{n\mbox{ volte}}=(a\cdot b)^n

    Esempio sul prodotto di potenze con lo stesso esponente

    Vediamo un esempio svolto. Calcoliamo:

    3^2\cdot 4^2

    Possiamo procedere in due modi. Da un lato, possiamo sviluppare le singole potenze e calcolare il prodotto dei rispettivi risultati

    3^2\cdot 4^2=9\cdot 16=144

    Dall'altro possiamo applicare la regola del prodotto di potenze con esponenti uguali

    3^2\cdot 4^2=(3\cdot 4)^{2}=(12)^2=12^2=144

    Prodotto di due potenze con basi diverse ed esponenti diversi

    Nel caso più generale non vale alcuna proprietà. Dovremo necessariamente sviluppare le singole potenze per poi moltiplicare i relativi risultati.

    ***

    Concludiamo ricordando che su YM c'è una spiegazione completa sulle proprietà delle potenze, con formule, esempi ed esercizi risolti. Non solo: c'è anche un comodo tool per il calcolo delle potenze online! ;)

    Risposta di Omega
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