Soluzioni
  • Si chiama prodotto di potenze il risultato di una moltiplicazione tra potenze, e si calcola in modi diversi a seconda che le potenze da moltiplicare abbiano la stessa base, oppure lo stesso esponente, oppure basi diverse ed esponenti diversi.

    Per capire come si calcola il prodotto di due potenze trattiamo i tre casi separatamente e partiamo da quello più noto, ossia il prodotto di due potenze con la stessa base.

    Successivamente analizzeremo il prodotto di potenze con lo stesso esponente e, infine, il prodotto di due potenze che non hanno né le basi, né gli esponenti uguali.

    Prodotto di due potenze con la stessa base

    Il prodotto di due potenze con la stessa base è uguale alla base elevata alla somma degli esponenti.

    a^n\cdot a^m=a^{n+m}

    Si tratta di una famosissima proprietà delle potenze che si rivela utile in tutti gli esercizi possibili e immaginabili. È molto importante saperla usare bene, e fortunatamente non è affatto complicata.

    Dimostrazione della formula per il prodotto di due potenze con la stessa base

    Per dimostrare la proprietà

    a^n\cdot a^m=a^{n+m}

    non dobbiamo fare altro che usare la definizione di potenza:

    \\ a^n\cdot a^m=\overbrace{a\cdot a\cdot ...\cdot a}^{n\mbox{ volte}}\cdot\overbrace{a\cdot a\cdot ...\cdot a}^{m\mbox{ volte}}=\\ \\ =\overbrace{a\cdot a\cdot ...\cdot a}^{n+m\mbox{ volte}}=a^{n+m}

    Esempi sul prodotto di due potenze con la stessa base

    2^2\cdot 2^3

    Da una parte possiamo fare i conti a mano e determinare il risultato svolgendo le singole potenze, per poi calcolarne il prodotto

    2^2\cdot 2^3=4\cdot 8=32

    Dall'altra, grazie alla proprietà relativa al prodotto di potenze con la stessa base, possiamo limitarci a considerare la potenza avente come base la base comune e come esponente la somma degli esponenti

    2^2\cdot 2^3=2^{2+3}=2^{5}=32

    • Stesso discorso con le potenze di frazioni. Non cambia nulla. L'importante è che i termini del prodotto abbiano la stessa base.

    \\ \left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3=\left(\frac{1}{3}\right)^{2+3}= \\ \\ \\ = \left(\frac{1}{3}\right)^5=\frac{1}{3^5}=\frac{1}{243}

    • Discorso analogo anche per le potenze con esponenti negativi. Basta fare attenzione ai segni:

    \\ 5^4\cdot 5^{-7}\cdot 5^2\cdot 5^{-3}=5^{4+(-7)+2+(-3)}= \\ \\ = 5^{4-7+2-3}=5^{-4}

    Prodotto di due potenze con basi diverse e stesso esponente

    Il prodotto di due potenze con lo stesso esponente è uguale alla potenza avente come base il prodotto delle basi, e come esponente l'esponente di partenza.

    a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n

    È importante notare che questa proprietà è l'inverso della regola per la potenza del prodotto, secondo cui la potenza di un prodotto è uguale al prodotto delle potenze dei fattori elevati all'esponente di partenza.

    Per capirlo basta osservare la formula appena scritta e leggerla da destra verso sinistra.

    a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n\ \ \longleftrightarrow\ \ (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n

    Dimostrazione della formula per il prodotto di due potenze con lo stesso esponente

    Per dimostrare questa proprietà basta usare la definizione di potenza e la proprietà commutativa

    a^n\cdot b^n=\overbrace{a\cdot a\cdot ...\cdot a}^{n\mbox{ volte}}\cdot \overbrace{b\cdot b\cdot ...\cdot b}^{n\mbox{ volte}}=\\ \\ =\overbrace{(a\cdot b)\cdot (a\cdot b)\cdot ...\cdot (a\cdot b)}^{n\mbox{ volte}}=(a\cdot b)^n

    Esempio sul prodotto di potenze con lo stesso esponente

    Vediamo un esempio svolto. Calcoliamo:

    3^2\cdot 4^2

    Possiamo procedere in due modi. Da un lato possiamo sviluppare le singole potenze e calcolare il prodotto dei rispettivi risultati

    3^2\cdot 4^2=9\cdot 16=144

    Dall'altro possiamo applicare la regola del prodotto di potenze con esponenti uguali

    3^2\cdot 4^2=(3\cdot 4)^{2}=(12)^2=12^2=144

    Prodotto di due potenze con basi diverse ed esponenti diversi

    Nel caso più generale non sussiste alcuna proprietà. Dovremo necessariamente sviluppare le singole potenze per poi moltiplicare i relativi risultati, come mostrano i seguenti esempi:

    2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72\\ \\ 5^3 \cdot 7^2 = 125 \cdot 49 = 6125\\ \\ \left(\frac{1}{2}\right)^4 \cdot 3^3 = \frac{1}{16} \cdot 27 = \frac{27}{16}

    ***

    Concludiamo ricordando che qui su YM c'è una spiegazione completa sulle proprietà delle potenze, con formule, esempi ed esercizi risolti.

    Non solo: c'è anche un comodo tool per il calcolo delle potenze online! ;)

    Risposta di Galois
 
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