Soluzioni
  • La regola del logaritmo di una potenza stabilisce che il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto tra l'esponente e il logaritmo della base della potenza. Tale proprietà può essere applicata indipendentemente dalla base del logaritmo, ma solo e soltanto se la base della potenza è positiva:

    \log_a(x^s)=s\log_a(x)\\ \\ \mbox{con }x>0,\ s\in\mathbb{R},\ a>0,\ a\neq 1

    La condizione per applicare tale proprietà si rende necessaria in accordo con la definizione di logaritmo, secondo cui l'argomento deve essere positivo. Inoltre, tale ipotesi ci permette di considerare esponenti reali s\in\mathbb{R}, dunque non solamente interi o razionali.

    La proprietà del logaritmo di una potenza ci permette quindi:

    - di riscrivere il logaritmo di una potenza come prodotto tra l'esponente della potenza e il logaritmo della base della potenza;

    - di esprimere il prodotto tra un coefficiente e un logaritmo come logaritmo dell'argomento elevato al coefficiente.

    Si tratta di una semplicissima proprietà che si rivela molto utile negli esercizi, sia che si parli di espressioni, sia che si tratti di equazioni logaritmiche o disequazioni logaritmiche. Vediamo qualche esempio.

    Esempio 1 - Logaritmo di potenze numeriche

    Come possiamo esprimere \ln(125) in una forma più utile per i calcoli?

    Effettuiamo una scomposizione in fattori primi dell'argomento: {125=5^3, per cui

    \ln(125)=\ln(5^3)=3\ln(5)

    Con argomenti numerici la regola è utile soprattutto per calcolare a mano logaritmi di numeri che non sono espressi come potenze: basta fare un piccolo passaggio e riscrivere l'argomento in forma di potenza, purché sia possibile farlo... ;)

    \log_3(512)=\log_3(2^9)=9\log_3(2)\\ \\ \log_2(49)=\log_2(7^2)=2\log_2(7)\\ \\ \mbox{Log}(10000)=\mbox{Log}(10^4)=4\mbox{Log(10)}=4\cdot 1=4\\ \\ \log_4(64)=\log_4(4^3)=3\log_4(4)=3\cdot 1=3

    È sempre essenziale assicurarsi che la base della potenza sia positiva, perché tale è la condizione che permette di applicare la proprietà. A titolo di esempio osserviamo che

    49=7^2\ \ \ ;\ \ \ 49^2=(-7)^2

    Entrambe le scritture sono valide, ma solamente la prima ci permette di applicare la proprietà del logaritmo di una potenza.

    Esempio 2 - Logaritmi di potenze numeriche

    Cerchiamo di calcolare \log_5(27)+\log_5(9) esprimendolo come un unico logaritmo.

    Potremmo pensare di applicare la regola per il logaritmo di un prodotto:

    \log_5(27)+\log_5(9)=\log_5(27\cdot 9)=\log_5(243)

    oppure, più comodamente, esprimere gli argomenti sin da subito come potenze

    \log_5(27)+\log_5(9)=\log_5(3^3)+\log_5(3^2)=3\log_5(3)+2\log_5(3)=5\log_5(3)

    Esempio 3 - Logaritmo di una potenza letterale

    Consideriamo l'espressione letterale \log((x+1)^4).

    Poiché la potenza (x+1)^4 ha esponente pari è certamente maggiore o uguale a zero, e il logaritmo è definito per i valori di x che non annullano la base della potenza

    x+1\neq 0\ \ \to\ \ x\neq -1

    Se decidiamo di applicare la regola

    \log((x+1)^4)=4\log(x+1)

    dobbiamo tenere conto che il passaggio è lecito a patto di imporre la condizione

    x+1>0\ \ \to\ \ x>-1

    e dunque per applicarla è necessario restringere l'insieme dei valori consentiti per x.

    ***

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    Risposta di Omega
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