Soluzioni
  • Le divisioni tra frazioni si svolgono moltiplicando la prima frazione per l'inversa della seconda. In altre parole per dividere due frazioni si deve moltiplicare la prima per l'inversa (o reciproca) della seconda.

    \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}

    Se non fosse chiaro, per svolgere una divisione tra due frazioni si deve:

    - calcolare l'inversa della seconda frazione che, ricordiamo, è quella frazione che si ottiene scambiando tra loro numeratore e denominatore;

    - svolgere la moltiplicazione tra la prima frazione e l'inversa della seconda;

    - ridurre ai minimi termini la frazione ottenuta, laddove non sia già ridotta.

    Nota bene: per svolgere correttamente una divisione tra frazioni occorre sapere come si svolgono le moltiplicazioni tra frazioni. Se hai dubbi al riguardo, prima di proseguire ti consigliamo di leggere l'approfondimento dell'omonimo link.

    Esempi di divisioni tra frazioni

    1) \frac{5}{8}:\frac{2}{3}

    Calcoliamo l'inversa della seconda frazione (2/3) scambiando tra loro numeratore e denominatore

    \frac{2}{3} \ \to \ \frac{3}{2}

    e moltiplichiamo la prima frazione (5/8) per la frazione inversa di 2/3

    \frac{5}{8} \times \frac{3}{2} = \frac{5 \times 3}{8 \times 2} = \frac{15}{16}

    Il risultato è una frazione ridotta ai minimi termini (numeratore e denominatore sono numeri primi tra loro), per cui non c'è altro da fare.

    Ecco tutti i passaggi svolti senza interruzioni:

    \frac{5}{8}:\frac{2}{3} = \frac{5}{8} \times \frac{3}{2} = \frac{5 \times 3}{8 \times 2} = \frac{15}{16}

    2) \frac{8}{3} : \frac{16}{9}

    Il reciproco della frazione \frac{16}{9} è \frac{9}{16}, per cui

    \frac{8}{3} : \frac{16}{9} = \frac{8}{3} \times \frac{9}{16}=

    Svolgiamo la moltiplicazione con il metodo della semplificazione a croce, ossia dividiamo per 8 il numeratore della prima frazione e il denominatore della seconda, e dividiamo per 3 il denominatore della prima frazione e il numeratore della seconda

    =\frac{1}{1} \times \frac{3}{2} = \frac{1 \times 3}{1 \times 2} = \frac{3}{2}

    Avendo svolto la moltiplicazione con il metodo della semplificazione a croce abbiamo ottenuto una frazione già ridotta, dunque non dobbiamo fare altro.

    3) \frac{5}{6}:\frac{3}{2}

    Ormai dovresti aver capito, dunque procediamo un po' più spediti.

    \frac{5}{6}:\frac{3}{2} = \frac{5}{6} \times \frac{2}{3} =

    Semplifichiamo a croce e dividiamo per 2 il denominatore della prima frazione e il numeratore della seconda

    =\frac{5}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{5 \times 1}{3 \times 3} = \frac{5}{9}

    Divisione tra una frazione e un numero intero

    Ogni numero intero si può scrivere come frazione con denominatore 1. Di conseguenza per svolgere una divisione tra una frazione e un numero non frazionario basta scrivere il numero come frazione, e successivamente procedere come già sappiamo.

    Ecco un paio di esempi:

    \\ \bullet \ \frac{5}{9}:4 = \frac{5}{9}:\frac{4}{1} = \frac{5}{9} \times \frac{1}{4} = \frac{5}{36} \\ \\ \\ \bullet \ \frac{8}{5}:2 = \frac{8}{5}:\frac{2}{1} = \frac{8}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{5}

    Divisioni con tre o più frazioni

    Per svolgere le divisioni con tre frazioni basta procedere con ordine, ossia dividere la prima frazione per la seconda, e successivamente dividere il risultato per la terza frazione. Inizialmente ci si può aiutare aggiungendo le parentesi.

    Vediamo un esempio:

    \frac{5}{3}:\frac{4}{7}:\frac{5}{4}=

    isoliamo la prima divisione racchiudendola tra una coppia di parentesi tonde

    =\left(\frac{5}{3}:\frac{4}{7}\right):\frac{5}{4}=

    e svolgiamola moltiplicando la prima frazione per l'inversa della seconda

    =\left(\frac{5}{3} \times \frac{7}{4}\right):\frac{5}{4} = \frac{35}{12} : \frac{5}{4}=

    A questo punto procediamo con il solito metodo

    =\frac{35}{12} \times \frac{4}{5} =

    e, dopo aver semplificato a croce, otteniamo

    =\frac{7}{3} \times \frac{1}{1} = \frac{7}{3}

    • Se le frazioni da dividere sono più di tre si procede sempre allo stesso modo, come risulta evidente dal seguente esempio:

    \frac{2}{3}:\frac{1}{4}:\frac{16}{9}:\frac{1}{2}=

    Isoliamo la prima divisione e svolgiamola

    \\ =\left(\frac{2}{3}:\frac{1}{4}\right):\frac{16}{9}:\frac{1}{2}= \left(\frac{2}{3} \times 4 \right):\frac{16}{9}:\frac{1}{2} = \\ \\ \\ = \frac{8}{3}:\frac{16}{9}:\frac{1}{2}=

    Continuiamo isolando e svolgendo la divisione tra le prime due frazioni

    \left( \frac{8}{3}:\frac{16}{9} \right) :\frac{1}{2}=\left( \frac{8}{3} \times \frac{9}{16} \right) : \frac{1}{2} = \frac{3}{2}:\frac{1}{2}=

    e concludiamo con la divisione rimasta

    =\frac{3}{2} \times \frac{2}{1} = 3

    ***

    È tutto... O quasi! Ecco qualche link che potrebbe tornarti utile:

    - operazioni tra frazioni, una lezione di riepilogo;

    - esercizi su moltiplicazione e divisione di frazioni, una scheda di esercizi svolti;

    - risolvi espressioni, un tool online per verificare i risultati degli esercizi.

    Risposta di Galois
 
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