Soluzioni
  • Stiamo parlando di una funzione della forma generica

    f(x)=a^x

    dove la base è un numero costante e maggiore di zero. Per a<0 avremmo una funzione con definita solamente per x\geq 0, quindi non avrebbe senso di parlare di comportamento a meno infinito.

    Quindi vogliamo capire qual è il comportamento dell'esponenziale all'infinito. In buona sostanza vogliamo conoscere il valore dei due limiti

    \lim_{x\to +\infty}a^x

    \lim_{x\to -\infty}a^x

    Tutto dipende dalla base. Distinguiamo tre casi.

    1) Se la base dell'esponenziale è maggiore di 1, abbiamo

    \lim_{x\to +\infty}a^x=+\infty

    \lim_{x\to -\infty}a^x=0^+

    per capirlo basta dare un'occhiata al grafico dell'esponenziale con base maggiore di 1.

    2) Se la base dell'esponenziale è uguale a 1, abbiamo

    \lim_{x\to +\infty}1^x=1

    \lim_{x\to -\infty}1^x=1

    e attenzione che i due limiti NON generano due forme indeterminate, perché la base non tende a 1: è proprio 1.

    3) Se la base dell'esponenziale è compresa tra 0 e 1

    \lim_{x\to +\infty}a^x=0^+

    \lim_{x\to -\infty}a^x=+\infty

    anche in questo caso una rapida occhiata al grafico dell'esponenziale con base minore di 1 chiarisce ogni dubbio.

     

    Queste regole tra le altre cose sono riassunte nella tabella di infiniti e infinitesimi, dai un'occhiata. ;)

    Risposta di Omega
 
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