Soluzioni
  • cos2x indica il coseno di 2x. La formula per il coseno di 2x prende il nome di formula di duplicazione del coseno e stabilisce che il coseno di 2x è uguale alla differenza tra il quadrato del coseno di x ed il quadrato del seno di x.

    \cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)

    In termini formali la scrittura cos2x non è corretta; infatti il coseno è una funzione, e quindi il suo argomento deve essere racchiuso tra una coppia di parentesi. Per questo motivo, al posto di cos2x, per indicare il coseno di 2x si dovrebbe scrivere cos(2x).

    Formule per il coseno di 2x

    Per esprimere il cos(2x) ci sono due altre formule equivalenti

    \\ \cos(2x)=1-2\sin^2(x) \\ \\ \cos(2x)=2\cos^2(x)-1

    Per ricavarle si parte dalla formula per il coseno di 2x data inizialmente

    \cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)

    e si usa l'identità fondamentale della trigonometria

    \cos^2(x)+\sin^2(x)=1

    da cui possiamo ricavare

    \\ \cos^2(x)=1-\sin^2(x) \\ \\ \sin^2(x)=1-\cos^2(x)

    Sostituendo prima l'una e poi l'altra in

    \cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)

    troviamo le due formulazioni equivalenti per il coseno di 2x.

    Esempio di applicazione del cos(2x)

    Calcoliamo il valore del coseno di 120 gradi facendo riferimento all'espressione per il coseno di 2x. Poiché

    120^{\circ}=2 \cdot 60^{\circ}

    per trovare il valore del coseno di 120 possiamo utilizzare la formula per il coseno di 2x andando a sostituire x con 60°.

    \cos(120^{\circ})=\cos(2 \cdot 60^{\circ})=\cos^2(60^{\circ})-\sin^2(60^{\circ})

    Dai valori delle funzioni goniometriche sappiamo che

    \\ \cos(60^{\circ})=\frac{1}{2} \\ \\ \sin(60^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}

    Sostituendo nella formula precedente otteniamo

    \cos(120^{\circ})=\cos^2(60^{\circ})-\sin^2(60^{\circ})=\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}

    Dimostrazione della formula del cos(2x)

    Per dimostrare la formula per il coseno di 2x dobbiamo utilizzare la formula di addizione del coseno

    \cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)

    e sostituire sia \alpha che \beta con x.

    \cos(2x)=\cos(x+x)=\cos(x)\cos(x)-\sin(x)\sin(x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)

    Abbiamo così dimostrato la formula del coseno di 2x.

    Per un ripasso sulle formule trigonometriche - click!

    Risposta di Galois
 
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Superiori-Analisi