Soluzioni
  • Si chiama somma di frazioni il risultato dell'addizione tra frazioni. Si calcola in modi differenti a seconda che le frazioni da sommare abbiano lo stesso denominatore oppure denominatori diversi.

    Per capire come si calcola la somma tra frazioni trattiamo i due casi separatamente e partiamo da quello più semplice, ossia dalla somma di frazioni con lo stesso denominatore. Successivamente passiamo alla somma di frazioni con denominatori diversi.

    Somma tra frazioni con lo stesso denominatore

    La somma di due o più frazioni con lo stesso denominatore è la frazione che ha come denominatore lo stesso denominatore e come numeratore la somma dei numeratori.

    Dopo aver calcolato la somma bisogna assicurarsi che la frazione ottenuta sia ridotta ai minimi termini, e qualora non lo fosse va ridotta.

    Esempi di somme tra frazioni con lo stesso denominatore

    1) \frac{1}{5}+\frac{3}{5}

    Le frazioni da sommare hanno lo stesso denominatore (5), dunque la loro somma è la frazione che ha come denominatore 5 e come numeratore la somma dei numeratori

    1+3=4

    per cui

    \frac{1}{5}+\frac{3}{5} = \frac{4}{5}

    Il risultato è una frazione già ridotta ai minimi termini, infatti numeratore e denominatore sono numeri primi tra loro, dunque non c'è altro da fare.

    2) \frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\frac{5}{2}

    Ora che abbiamo capito come si procede velocizziamo un po' il processo e scriviamo direttamente la frazione che ha come denominatore 2 (il denominatore comune) e come numeratore l'addizione tra i numeratori delle singole frazioni

    \frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\frac{5}{2} = \frac{1+3+5}{2}=

    calcoliamo la somma a numeratore

    =\frac{9}{2}

    e abbiamo finito: anche questa frazione è già ridotta ai minimi termini.

    3) \frac{3}{4}+\frac{1}{4}+\frac{5}{4}+\frac{7}{4}

    Ormai sappiamo come comportarci:

    \frac{3}{4}+\frac{1}{4}+\frac{5}{4}+\frac{7}{4}=\frac{3+1+5+7}{4}=\frac{16}{4}

    Questa volta la frazione somma non è ridotta ai minimi termini, infatti il numeratore è un multiplo del denominatore. Per ridurla dividiamo i termini della frazione per 4:

    \frac{16}{4}=4

    Somma tra frazioni con denominatori diversi

    Per calcolare la somma di frazioni con denominatori diversi si devono ridurre le frazioni al denominatore comune, così da ricadere nel caso della somma tra frazioni con lo stesso denominatore.

    All'atto pratico si deve:

    - trovare il minimo comune denominatore, ossia calcolare il minimo comune multiplo (mcm) tra i denominatori delle frazioni che si devono sommare;

    - scrivere le rispettive frazioni equivalenti che hanno come denominatore l'mcm calcolato in precedenza;

    - sommare le frazioni così ottenute (hanno lo stesso denominatore);

    - se necessario ridurre la frazione somma ai minimi termini.

    Esempio di somma tra frazioni con denominatori diversi

    \frac{3}{8}+\frac{7}{6}

    La prima cosa da fare è calcolare il minimo comune multiplo tra i denominatori, che sono 8 e 6. Scomponiamoli in fattori primi:

    \\ 8=2^3 \\ \\ 6=2 \times 3

    L'mcm tra 8 e 6 è dato dal prodotto tra i fattori comuni e non comuni delle rispettive scomposizioni, presi una sola volta e con l'esponente maggiore:

    \mbox{mcm}(8,6) = 2^3 \times 3 = 24

    Il passo successivo è scrivere le rispettive frazioni equivalenti che hanno 24 come denominatore.

    Partiamo dalla prima: \frac{3}{8}

    La frazione equivalente a \frac{3}{8} e con denominatore 24 ha come numeratore il prodotto tra il vecchio numeratore (3) e il risultato della divisione tra il nuovo denominatore (24) e il vecchio denominatore (8)

    \frac{3}{8} \ \to \ \frac{3 \times (24:8)}{24} = \frac{3 \times 3}{24} = \frac{9}{24}

    Per quanto concerne la seconda, la sua frazione equivalente con denominatore 24 si calcola esattamente allo stesso modo

    \frac{7}{6} \ \to \ \frac{7 \times (24:6)}{24} = \frac{7 \times 4}{24} = \frac{28}{24}

    Abbiamo ottenuto due frazioni con lo stesso denominatore, e sappiamo cosa fare

    \frac{3}{8}+\frac{7}{6} = \frac{9}{24} + \frac{28}{24} = \frac{9+28}{24}=\frac{37}{24}

    Verifichiamo che la frazione somma sia ridotta ai minimi termini. Poiché i numeri 37 e 24 non hanno divisori in comune, quello ottenuto è il risultato finale.

    Altro metodo per la somma di frazioni con denominatori diversi

    Dopo un po' di pratica, per calcolare la somma di frazioni con denominatori diversi si usa un metodo più veloce e del tutto equivalente al precedente. Vediamo come comportarci facendo riferimento a un esempio:

    \frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{7}{6}

    • Calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori

    \mbox{mcm}(2,3,6) = 6

    • Impostiamo subito la frazione somma: tracciamo una linea di frazione, scriviamo come denominatore l'mcm calcolato in precedenza e al numeratore indichiamo tanti spazi vuoti quante sono le frazioni da sommare

    \frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{7}{6}=\frac{... + ... + ...}{6}

    • Riempiamo gli spazi vuoti a numeratore:

    - il numero che occuperà il primo spazio si calcola dalla prima frazione \left(\frac{1}{2}\right). Si ottiene dividendo il denominatore comune per il denominatore della prima frazione e moltiplicando il risultato per il suo numeratore

    \frac{1}{2} \ \to \ (6:2)\times 1 = 3 \times 1 = 3

    - il numero del secondo spazio si ottiene dalla seconda frazione \left(\frac{5}{3}\right). Si calcola dividendo il denominatore comune per il denominatore della seconda frazione e moltiplicando il risultato per il suo numeratore

    \frac{2}{3} \ \to \ (6:3)\times 2 = 2 \times 2 = 4

    - analogamente, il numero del terzo spazio è dato da

    \frac{7}{6} \ \to \ (6:6)\times 7 = 1 \times 7 = 7

    Bene! Abbiamo riempito gli spazi vuoti:

    \frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{7}{6}=\frac{3 + 4 + 7}{6}

    • A questo punto calcoliamo la somma a numeratore

    \frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{7}{6}=\frac{3 + 4 + 7}{6} = \frac{14}{6}

    • Infine riduciamo la frazione ai minimi termini, laddove non sia già ridotta.

    Nel nostro caso numeratore e denominatore sono numeri divisibili per 2, dunque

    \frac{14}{6}=\frac{7}{3}

    e in definitiva

    \frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{7}{6}=\frac{7}{3}

    ***

    Se vuoi fare un ripasso di tutte le operazioni con le frazioni - click!

    Ti segnaliamo anche:

    - la scheda di esercizi su somma e differenza di frazioni;

    - lo strumento risolvi espressioni, con cui puoi controllare i risultati degli esercizi che svolgi autonomamente.

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Wiki - Algebra