Coseno di infinito

Mi spieghereste quanto vale il coseno di infinito? Cioè il coseno all'infinito è definito, c'è un modo per sapere qual è il suo andamento oppure non si può fare? Vi ringrazio in anticipo.

In Superiori - Analisi - Domanda di FAQ

Soluzioni

  • La domanda in sé e per sé è priva di significato, perché non è possibile valutare una funzione all'infinito. "Infinito" infatti non è un numero reale.

    Se però si intende qual è il comportamento del coseno all'infinito, la domanda ha senso ed equivale a chiedersi qual è il valore dei limiti

    \lim_{x\to +\infty}\cos(x)

    \lim_{x\to -\infty}\cos(x)

    In pratica stiamo ragionando nel contesto dell'algebra di infiniti e infinitesimi e dei limiti.

    Ragioniamo per un istante: non è difficile capire che nessuno dei due limiti scritti sopra esiste

    \lim_{x\to +\infty}\cos(x)\ \not\exists

    \lim_{x\to -\infty}\cos(x)\ \not\exists

    perché il coseno è una funzione periodica con periodo 2\pi e assume valori che oscillano in [-1,+1].

    Più rigorosamente si può dimostrare che entrambi i precedenti limiti non soddisfano né la definizione di limite finito per x tendente a un valore infinito, né la definizione di limite infinito per x tendente ad un valore infinito.

    In sintesi, la risposta alla domanda "quanto vale il coseno all'infinito?" è: non vale. ;)

    Namasté!

    Risposta di Omega
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