Soluzioni
  • Esiste un semplice metodo che permette di ridurre una qualsiasi radice di radice ad una singola radice. Questo metodo si basa direttamente sulla definizione di radicale e consiste nel riscrivere una radice come potenza con esponente fratto

    \sqrt[m]{x^{n}}=x^{\frac{n}{m}}

    Ricordo che quella che ho appena scritto è una definizione, dunque va presa così com'è e non c'è nulla da capire. ;)

    Usando la suddetta regola possiamo semplificare una qualsiasi radice di radice esprimendola sotto forma di un'unica radice. Prima vediamo come ricavare la formula generale, poi passiamo agli esempi. Premetto che l'importante non è tanto la formula in sé, quanto più il ragionamento che permette di ricavarla.

    Come semplificare la radice di una radice

    Immaginiamo di avere

    \sqrt[M]{\sqrt[m]{x^n}}=

    Usiamo la regola per le potenze con esponente fratto sulla radice più esterna

    =\left(\sqrt[m]{x^n}\right)^{\frac{1}{M}}=

    e usiamola nuovamente sulla radice rimanente

    =\left(x^{\frac{n}{m}}\right)^{\frac{1}{M}}=

    ora non ci resta che applicare una nota proprietà delle potenze

    =x^{\frac{n}{m}\times \frac{1}{M}}

    Abbiamo così ricavato la formula per la radice di radice

    \sqrt[M]{\sqrt[m]{x^n}}=x^{\frac{n}{m\times M}}

    In pratica, grazie alla definizione di radicale appena vista e alla regola per le potenze di potenze possiamo riscrivere qualsiasi radice di radice di radice di radice... come una sola radice. Per riuscirci basta scrivere il radicando come potenza con esponente fratto, dove a numeratore abbiamo l'esponente del radicando e a denominatore il prodotto di tutti gli indici di radice.

    Esempi sulle radici di radici

    1) Semplificare la radice cubica della radice quadrata di 111 ad una sola radice.

    \sqrt[3]{\sqrt{111}}

    Svolgimento: dapprima scriviamo la radice cubica come potenza con esponente frazionario

    \sqrt[3]{\sqrt{111}}=\left(\sqrt{111}\right)^{\frac{1}{3}}=

    Poi scriviamo la radice quadrata come

    =\left(111^{\frac{1}{2}}\right)^\frac{1}{3}=

    Applichiamo la proprietà per la potenza di una potenza

    =111^{\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}}=111^{\frac{1}{6}}=

    ed infine applichiamo la definizione di radicale

    =\sqrt[6]{111}

    2) Ridurre la seguente espressione con radicali interni ad un solo radicale

    \sqrt[4]{\sqrt[3]{\sqrt[10]{x^{22}}}}=

    Svolgimento: nulla vieta di partire dall'interno anziché dall'esterno

    \sqrt[4]{\sqrt[3]{\sqrt[10]{x^{22}}}}=\sqrt[4]{\sqrt[3]{x^{\frac{22}{10}}}}=

    Riscriviamo il radicale successivo (sempre dall'interno)

    =\sqrt[4]{\left(x^{\frac{22}{10}}\right)^{\frac{1}{3}}}=

    Aapplichiamo la proprietà per le potenze di potenze: dobbiamo passare al prodotto degli esponenti

    =\sqrt[4]{x^{\frac{22}{10}\times \frac{1}{3}}}=\sqrt[4]{x^{\frac{22}{30}}}=

    e poi ci occupiamo dell'ultima radice

    =\left(x^{\frac{22}{30}}\right)^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{22}{30}\times \frac{1}{4}}=x^{\frac{22}{120}}=

    A questo punto (bonus) notiamo che possiamo semplificare l'esponente per riduzione ai minimi termini

    =x^{\frac{11}{60}}=

    e abbiamo finito, infatti possiamo applicare la definizione di radice al contrario

    =\sqrt[60]{x^{11}}

    In conclusione

    \sqrt[4]{\sqrt[3]{\sqrt[10]{x^{22}}}}=\sqrt[60]{x^{11}}

    La riduzione delle radici di radici ad una sola radice è un procedimento molto meccanico, ma si basa su operazioni semplici. Basta fare attenzione. ;)

    Nota conclusiva: un'operazione apparentemente simile ma sostanzialmente diversa prevede di riscrivere i radicali doppi eliminando la radice interna. Per ulteriori informazioni ti rimando alla lettura della lezione del link. ;)

    Namasté!

    Risposta di Omega
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