Formula del seno di x/2

Giuseppe Carichino (Galois) -

Qual è la formula del seno di x/2? Potreste dirmi quanto vale il seno di x fratto 2, scrivere la formula e spiegarmi come si usa?

Quella che c'è sul mio libro ha il segno più-meno davanti e non ho capito come interpretarlo: in base a cosa si sceglie il segno positivo oppure quello negativo?

Se fosse possibile vorrei anche vedere la dimostrazione della formula del seno di x/2 e un esempio di applicazione.

Soluzione

La formula del seno di x/2 viene detta formula di bisezione del seno e permette di calcolare il seno di x/2 mediante il coseno di x. Essa stabilisce che il seno di x/2 è uguale a più-meno la radice quadrata del rapporto tra 1 meno il coseno di x e 2.

sin((x)/(2)) = ±√((1-cos(x))/(2))

Il simbolo più o meno (±) prima della radice quadrata indica che sta a noi scegliere opportunamente il segno.

La scelta dipende dal quadrante in cui, facendo riferimento alla circonferenza goniometrica, cade il punto associato all'angolo (x)/(2), e in particolare dal segno del seno in quello specifico quadrante.

A tal proposito ricordiamo che il seno un angolo è:

- positivo, se il punto associato all'angolo giace nel primo o nel secondo quadrante;

- negativo, se il punto associato all'angolo giace nel terzo o nel quarto quadrante.

Esempio di applicazione della formula del seno di x/2

Con la formula del seno di x/2 si possono calcolare i valori del seno di alcuni angoli, a patto però di ricordare i principali valori notevoli delle funzioni goniometriche.

Facciamo un esempio e calcoliamo il valore del seno di 135°.

Imponiamo che sia

(x)/(2) = 135°

e ricaviamo il valore di x moltiplicando ambo i membri per 2

x = 270°

Applichiamo la formula del seno di x/2

sin((x)/(2)) = ±√((1-cos(x))/(2))

Sostituiamo (x)/(2) = 135° e x = 270°. Per la scelta del segno osserviamo che il punto associato all'angolo 135° appartiene al secondo quadrante, dove il seno è positivo, per cui

sin(135°) = +√((1-cos(270°))/(2)) =

il coseno di 270° è uguale a zero

= √((1-0)/(2)) = √((1)/(2)) = (1)/(√(2))

Dimostrazione della formula del seno di x/2

Per dimostrare la formula del seno di x/2 usiamo la formula di duplicazione del coseno espressa nella forma

cos(2x) = 1-2sin^2(x)

Sostituiamo x con (x)/(2)

cos(2·(x)/(2)) = 1-2sin^2((x)/(2))

e otteniamo

cos(x) = 1-2sin^2((x)/(2))

Esplicitiamola in favore del seno

sin^2((x)/(2)) = (1-cos(x))/(2)

Estraiamo la radice quadrata e abbiamo finito:

sin((x)/(2)) = ±√((1-cos(x))/(2))

***

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