Soluzioni
  • Il seno di 2x è uguale a due volte il prodotto tra il seno di x e il coseno di x; equivalentemente, il seno di 2x è pari al doppio prodotto tra il seno e il coseno di x. La formula del seno di 2x prende il nome di formula di duplicazione del seno e permette di calcolare il seno di 2x mediante seno e coseno di x.

    \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)

    Esempio di applicazione della formula del seno di 2x

    Con la formula del seno di 2x si possono ricavare agevolmente i valori del seno di alcuni angoli, a patto però di ricordare i principali valori notevoli delle funzioni goniometriche.

    Facciamo un esempio e calcoliamo il valore del seno di 120 gradi.

    Poiché 120° è il doppio di 60°

    120^{\circ} = 2 \cdot 60^{\circ}

    usiamo la formula del seno di 2x e sostituiamo x con 60°

    \sin(120^{\circ}) = \sin(2 \cdot 60^{\circ})=2\sin(60^{\circ})\cos(60^{\circ})

    Ricordiamo ora che:

    • il seno di 60° è uguale a √3/2

    \sin\left(60^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}

    • il coseno di 60° è uguale a 1/2

    \cos\left(60^{\circ}\right)=\frac{1}{2}

    Sostituiamo nella formula precedente e otteniamo:

    \sin(120^{\circ}) = \sin(2 \cdot 60^{\circ})=2\sin(60^{\circ})\cos(60^{\circ}) = \\ \\ =2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    Dimostrazione della formula del seno di 2x

    Per dimostrare la formula del seno di 2x utilizziamo la formula di addizione del seno

    \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)

    e sostituiamo sia \alpha che \beta con x

    \sin(x + x) = \sin(x)\cos(x)+\cos(x)\sin(x) \ \ (\bullet)

    Evidentemente

    \sin(x+x)=\sin(2x)

    Inoltre, per la proprietà commutativa della moltiplicazione

    \cos(x)\sin(x) = \sin(x)\cos(x)

    di conseguenza, da (\bullet) ricaviamo

    \sin(2x) = \sin(x)\cos(x)+\sin(x)\cos(x)

    e abbiamo così dimostrato la formula del seno di 2x:

    \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)

    ***

    Ci fermiamo qui, ma se vuoi fare un ripasso di tutte le formule trigonometriche - click!

    Se invece fossi interessato al calcolo della derivata del seno di 2x, oppure al calcolo dell'integrale del seno di 2x, ti rimandiamo agli approfondimenti degli omonimi link.

    Risposta di Galois
 
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