Soluzioni
  • La regola per il logaritmo del rapporto, detto anche logaritmo del quoziente, stabilisce che il logaritmo di un rapporto è uguale alla differenza tra il logaritmo del numeratore e il logaritmo del denominatore, purché numeratore e denominatore siano entrambi positivi.

    log_p((a)/(b)) = log_p(a)-log_p(b) ; con a > 0, b > 0, p > 0, p ≠ 1

    La proprietà vale indipendentemente dalla base p, ma può essere applicata soltanto se numeratore e denominatore sono separatamente positivi, dunque non basta che il rapporto sia positivo. Essa ci permette:

    - di esprimere il logaritmo di un rapporto come differenza di due logaritmi, di cui il primo ha come argomento il numeratore del rapporto e il secondo ha come argomento il denominatore del rapporto;

    - di riscrivere la differenza di due logaritmi nella stessa base come logaritmo di un quoziente con numeratore l'argomento del primo logaritmo e denominatore l'argomento del secondo logaritmo. Il logaritmo del quoziente deve avere ovviamente la stessa base dei logaritmi della differenza.

    Ribadiamo un aspetto importantissimo: attenzione al fatto che, dato che stiamo parlando di logaritmi, l'argomento deve essere sempre positivo. La precedente proprietà può essere applicata solamente se i singoli termini sono positivi: a > 0, b > 0. La base invece, sempre per definizione, deve essere positiva e diversa da 1.

    Esempio 1 - Logaritmo di un rapporto tra due numeri

    Determiniamo una formulazione equivalente per log_3((3)/(2)).

    Poiché il quoziente è il rapporto tra 3 e 2, e poiché tali numeri sono positivi, possiamo scrivere

    log_3((3)/(2)) = log_3(3)-log_3(2) = 1-log_3(2)

    Si noti che, in accordo con la regola dei segni, il rapporto può anche essere espresso nella forma

    (3)/(2) = (-3)/(-2)

    ma se considerassimo -3 e -2 rispettivamente come numeratore e denominatore, non potremmo applicare la suddetta proprietà.

    Esempio 2 - Dalla differenza di logaritmi al logaritmo del quoziente

    Supponiamo di voler calcolare il valore dell'espressione log_2(10)-log_2(5).

    Poiché i due logaritmi hanno la stessa base, potremo scrivere

    log_2(10)-log_2(5) = log_2((10)/(5)) = log_2(2) = 1

    Verifichiamo il risultato in un altro modo. Possiamo esprimere 10 = 2·5 e scrivere

    log_2(10)-log_2(5) = log_2(2·5)-log_2(5) =

    per poi applicare la proprietà del logaritmo del prodotto

    = log_2(2)+log_2(5)-log_2(5) = log_2(2) = 1

    Esempio 3 - Differenza di logaritmi e logaritmo del rapporto

    Cerchiamo di esprimere in una forma equivalente log_2(12)-log_2(4).

    Con la suddetta proprietà è tutto estremamente semplice:

    log_2(12)-log_2(4) = log_2((12)/(4)) = log_2(3)

    Immaginiamo di non ricordarci la regola e di dover ricorrere a un altro metodo. Potremmo procedere alla scomposizione in fattori primi

    log_2(12)-log_2(4) = log_2(2^2·3)-log_2(2^2) =

    A questo punto possiamo applicare la proprietà per il logaritmo del prodotto

    = log_2(2^2)+log_2(3)-log_2(2^2) =

    e cancellare i due termini opposti, oppure distrattamente applicare la proprietà per il logaritmo di una potenza

    = 2log_2(2)+log_2(3)-2log_2(2) = log_2(3)

    Esempio 4 - Logaritmo del rapporto con termini letterali

    Consideriamo l'espressione log((x-1)/(x+1)).

    Per come si presenta nella sua forma iniziale, il logaritmo ci impone la condizione

    (x-1)/(x+1) > 0

    una semplice disequazione fratta che ha come soluzioni x < -1 ∨ x > 1.

    Possiamo applicare la suddetta regola:

    log((x-1)/(x+1)) = log(x-1)-log(x+1)

    ma non dobbiamo dimenticarci di imporre che i singoli argomenti siano positivi, il che ci riconduce al sistema di disequazioni

    x-1 > 0 ; x+1 > 0 → x > 1 ; x > -1 → x > 1

    Abbiamo quindi dovuto restringere l'insieme dei valori consentiti per x rispetto alla condizione iniziale.

    ***

    Gli esempi servono a mostrare che le proprietà dei logaritmi forniscono strade alternative, ma equivalenti, per fare i calcoli con i logaritmi. Non solo: prestate sempre parecchia attenzioni alle condizioni che permettono di applicarle... E se volete dare uno sguardo alla dimostrazione, trovate tutto nella pagina del link. ;)

    Risposta di Omega
 
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