Logaritmo del rapporto

Qual è la regola per calcolare il logaritmo di un rapporto di due numeri o di due termini? Mi potreste dire qual è la proprietà da usare e mostrarmi un esempio per semplificare il logaritmo del rapporto di due numeri? Inoltre, questa regola è la stessa rispetto a quella del logaritmo del quoziente?

In Superiori - Algebra - Domanda di FAQ

Soluzioni

La regola per il logaritmo del rapporto, detto anche logaritmo del quoziente, stabilisce che il logaritmo di un rapporto è uguale alla differenza tra il logaritmo del numeratore e il logaritmo del denominatore, purché numeratore e denominatore siano entrambi positivi.

$\log_p\left(\frac{a}{b}\right)=\log_p(a)-\log_p(b)\\ \\ \mbox{con }a>0,\ b>0,\ p>0,\ p\neq 1$

La proprietà vale indipendentemente dalla base , ma può essere applicata soltanto se numeratore e denominatore sono separatamente positivi, dunque non basta che il rapporto sia positivo. Essa ci permette:

- di esprimere il logaritmo di un rapporto come differenza di due logaritmi, di cui il primo ha come argomento il numeratore del rapporto e il secondo ha come argomento il denominatore del rapporto;

- di riscrivere la differenza di due logaritmi nella stessa base come logaritmo di un quoziente con numeratore l'argomento del primo logaritmo e denominatore l'argomento del secondo logaritmo. Il logaritmo del quoziente deve avere ovviamente la stessa base dei logaritmi della differenza.

Ribadiamo un aspetto importantissimo: attenzione al fatto che, dato che stiamo parlando di logaritmi, l'argomento deve essere sempre positivo. La precedente proprietà può essere applicata solamente se i singoli termini sono positivi: $a>0,\ b>0$ . La base invece, sempre per definizione, deve essere positiva e diversa da 1.

Esempio 1 - Logaritmo di un rapporto tra due numeri

Determiniamo una formulazione equivalente per $\log_3\left(\frac{3}{2}\right)$ .

Poiché il quoziente è il rapporto tra 3 e 2, e poiché tali numeri sono positivi, possiamo scrivere

$\log_3\left(\frac{3}{2}\right)=\log_3(3)-\log_3(2)=1-\log_3(2)$

Si noti che, in accordo con la regola dei segni, il rapporto può anche essere espresso nella forma

$\frac{3}{2}=\frac{-3}{-2}$

ma se considerassimo -3 e -2 rispettivamente come numeratore e denominatore, non potremmo applicare la suddetta proprietà.

Esempio 2 - Dalla differenza di logaritmi al logaritmo del quoziente

Supponiamo di voler calcolare il valore dell'espressione $\log_2(10)-\log_2(5)$ .

Poiché i due logaritmi hanno la stessa base, potremo scrivere

$\log_2(10)-\log_2(5)=\log_2\left(\frac{10}{5}\right)=\log_2(2)=1$

Verifichiamo il risultato in un altro modo. Possiamo esprimere $10=2\cdot 5$ e scrivere

$\log_2(10)-\log_2(5)=\log_2(2\cdot 5)-\log_2(5)=$

per poi applicare la proprietà del logaritmo del prodotto

$=\log_2(2)+\log_2(5)-\log_2(5)=\log_2(2)=1$

Esempio 3 - Differenza di logaritmi e logaritmo del rapporto

Cerchiamo di esprimere in una forma equivalente $\log_2(12)-\log_2(4)$ .

Con la suddetta proprietà è tutto estremamente semplice:

$\log_2(12)-\log_2(4)=\log_2\left(\frac{12}{4}\right)=\log_2(3)$

Immaginiamo di non ricordarci la regola e di dover ricorrere a un altro metodo. Potremmo procedere alla scomposizione in fattori primi

$\log_2(12)-\log_2(4)=\log_2(2^2\cdot 3)-\log_2(2^2)=$

A questo punto possiamo applicare la proprietà per il logaritmo del prodotto

$=\log_2(2^2)+\log_2(3)-\log_2(2^2)=$

e cancellare i due termini opposti, oppure distrattamente applicare la proprietà per il logaritmo di una potenza

$=2\log_2(2)+\log_2(3)-2\log_2(2)=\log_2(3)$

Esempio 4 - Logaritmo del rapporto con termini letterali

Consideriamo l'espressione $\log\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ .

Per come si presenta nella sua forma iniziale, il logaritmo ci impone la condizione

$\frac{x-1}{x+1}>0$

una semplice disequazione fratta che ha come soluzioni $x<-1\ \vee\ x>1$ .

Possiamo applicare la suddetta regola:

$\log\left(\frac{x-1}{x+1}\right)=\log(x-1)+\log(x+1)$

ma non dobbiamo dimenticarci di imporre che i singoli argomenti siano positivi, il che ci riconduce al sistema di disequazioni

$\begin{cases}x-1>0\\ x+1>0\end{cases}\ \ \to\ \ \begin{cases}x>1\\ x>-1\end{cases}\ \to\ x>1$

Abbiamo quindi dovuto restringere l'insieme dei valori consentiti per rispetto alla condizione iniziale.

***

Gli esempi servono a mostrare che le proprietà dei logaritmi forniscono strade alternative, ma equivalenti, per fare i calcoli con i logaritmi. Non solo: prestate sempre parecchia attenzioni alle condizioni che permettono di applicarle... E se volete dare uno sguardo alla dimostrazione, trovate tutto nella pagina del link. ;)

Risposta di Omega