Soluzioni
  • La regola per il logaritmo del rapporto, detto anche logaritmo del quoziente, stabilisce che il logaritmo di un rapporto è uguale alla differenza tra il logaritmo del numeratore e il logaritmo del denominatore, purché numeratore e denominatore siano entrambi positivi.

    \log_p\left(\frac{a}{b}\right)=\log_p(a)-\log_p(b)\\ \\ \mbox{con }a>0,\ b>0,\ p>0,\ p\neq 1

    La proprietà vale indipendentemente dalla base p, ma può essere applicata soltanto se numeratore e denominatore sono separatamente positivi, dunque non basta che il rapporto sia positivo. Essa ci permette:

    - di esprimere il logaritmo di un rapporto come differenza di due logaritmi, di cui il primo ha come argomento il numeratore del rapporto e il secondo ha come argomento il denominatore del rapporto;

    - di riscrivere la differenza di due logaritmi nella stessa base come logaritmo di un quoziente con numeratore l'argomento del primo logaritmo e denominatore l'argomento del secondo logaritmo. Il logaritmo del quoziente deve avere ovviamente la stessa base dei logaritmi della differenza.

    Ribadiamo un aspetto importantissimo: attenzione al fatto che, dato che stiamo parlando di logaritmi, l'argomento deve essere sempre positivo. La precedente proprietà può essere applicata solamente se i singoli termini sono positivi: a>0,\ b>0. La base invece, sempre per definizione, deve essere positiva e diversa da 1.

    Esempio 1 - Logaritmo di un rapporto tra due numeri

    Determiniamo una formulazione equivalente per \log_3\left(\frac{3}{2}\right).

    Poiché il quoziente è il rapporto tra 3 e 2, e poiché tali numeri sono positivi, possiamo scrivere

    \log_3\left(\frac{3}{2}\right)=\log_3(3)-\log_3(2)=1-\log_3(2)

    Si noti che, in accordo con la regola dei segni, il rapporto può anche essere espresso nella forma

    \frac{3}{2}=\frac{-3}{-2}

    ma se considerassimo -3 e -2 rispettivamente come numeratore e denominatore, non potremmo applicare la suddetta proprietà.

    Esempio 2 - Dalla differenza di logaritmi al logaritmo del quoziente

    Supponiamo di voler calcolare il valore dell'espressione \log_2(10)-\log_2(5).

    Poiché i due logaritmi hanno la stessa base, potremo scrivere

    \log_2(10)-\log_2(5)=\log_2\left(\frac{10}{5}\right)=\log_2(2)=1

    Verifichiamo il risultato in un altro modo. Possiamo esprimere 10=2\cdot 5 e scrivere

    \log_2(10)-\log_2(5)=\log_2(2\cdot 5)-\log_2(5)=

    per poi applicare la proprietà del logaritmo del prodotto

    =\log_2(2)+\log_2(5)-\log_2(5)=\log_2(2)=1

    Esempio 3 - Differenza di logaritmi e logaritmo del rapporto

    Cerchiamo di esprimere in una forma equivalente \log_2(12)-\log_2(4).

    Con la suddetta proprietà è tutto estremamente semplice:

    \log_2(12)-\log_2(4)=\log_2\left(\frac{12}{4}\right)=\log_2(3)

    Immaginiamo di non ricordarci la regola e di dover ricorrere a un altro metodo. Potremmo procedere alla scomposizione in fattori primi

    \log_2(12)-\log_2(4)=\log_2(2^2\cdot 3)-\log_2(2^2)=

    A questo punto possiamo applicare la proprietà per il logaritmo del prodotto

    =\log_2(2^2)+\log_2(3)-\log_2(2^2)=

    e cancellare i due termini opposti, oppure distrattamente applicare la proprietà per il logaritmo di una potenza

    =2\log_2(2)+\log_2(3)-2\log_2(2)=\log_2(3)

    Esempio 4 - Logaritmo del rapporto con termini letterali

    Consideriamo l'espressione \log\left(\frac{x-1}{x+1}\right).

    Per come si presenta nella sua forma iniziale, il logaritmo ci impone la condizione

    \frac{x-1}{x+1}>0

    una semplice disequazione fratta che ha come soluzioni x<-1\ \vee\ x>1.

    Possiamo applicare la suddetta regola:

    \log\left(\frac{x-1}{x+1}\right)=\log(x-1)+\log(x+1)

    ma non dobbiamo dimenticarci di imporre che i singoli argomenti siano positivi, il che ci riconduce al sistema di disequazioni

    \begin{cases}x-1>0\\ x+1>0\end{cases}\ \ \to\ \ \begin{cases}x>1\\ x>-1\end{cases}\ \to\ x>1

    Abbiamo quindi dovuto restringere l'insieme dei valori consentiti per x rispetto alla condizione iniziale.

    ***

    Gli esempi servono a mostrare che le proprietà dei logaritmi forniscono strade alternative, ma equivalenti, per fare i calcoli con i logaritmi. Non solo: prestate sempre parecchia attenzioni alle condizioni che permettono di applicarle... E se volete dare uno sguardo alla dimostrazione, trovate tutto nella pagina del link. ;)

    Risposta di Omega
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