Logaritmo del rapporto

La regola per il logaritmo del rapporto, detto anche logaritmo del quoziente, stabilisce che il logaritmo di un rapporto è uguale alla differenza tra il logaritmo del numeratore e il logaritmo del denominatore, purché numeratore e denominatore siano entrambi positivi.

La proprietà vale indipendentemente dalla base , ma può essere applicata soltanto se numeratore e denominatore sono separatamente positivi, dunque non basta che il rapporto sia positivo. Essa ci permette:

- di esprimere il logaritmo di un rapporto come differenza di due logaritmi, di cui il primo ha come argomento il numeratore del rapporto e il secondo ha come argomento il denominatore del rapporto;

- di riscrivere la differenza di due logaritmi nella stessa base come logaritmo di un quoziente con numeratore l'argomento del primo logaritmo e denominatore l'argomento del secondo logaritmo. Il logaritmo del quoziente deve avere ovviamente la stessa base dei logaritmi della differenza.

Ribadiamo un aspetto importantissimo: attenzione al fatto che, dato che stiamo parlando di logaritmi, l'argomento deve essere sempre positivo. La precedente proprietà può essere applicata solamente se i singoli termini sono positivi: . La base invece, sempre per definizione, deve essere positiva e diversa da 1.

Esempio 1 - Logaritmo di un rapporto tra due numeri

Determiniamo una formulazione equivalente per .

Poiché il quoziente è il rapporto tra 3 e 2, e poiché tali numeri sono positivi, possiamo scrivere

Si noti che, in accordo con la regola dei segni, il rapporto può anche essere espresso nella forma

ma se considerassimo -3 e -2 rispettivamente come numeratore e denominatore, non potremmo applicare la suddetta proprietà.

Esempio 2 - Dalla differenza di logaritmi al logaritmo del quoziente

Supponiamo di voler calcolare il valore dell'espressione .

Poiché i due logaritmi hanno la stessa base, potremo scrivere

Verifichiamo il risultato in un altro modo. Possiamo esprimere e scrivere

per poi applicare la proprietà del logaritmo del prodotto

Esempio 3 - Differenza di logaritmi e logaritmo del rapporto

Cerchiamo di esprimere in una forma equivalente .

Con la suddetta proprietà è tutto estremamente semplice:

Immaginiamo di non ricordarci la regola e di dover ricorrere a un altro metodo. Potremmo procedere alla scomposizione in fattori primi

A questo punto possiamo applicare la proprietà per il logaritmo del prodotto

e cancellare i due termini opposti, oppure distrattamente applicare la proprietà per il logaritmo di una potenza

Esempio 4 - Logaritmo del rapporto con termini letterali

Consideriamo l'espressione .

Per come si presenta nella sua forma iniziale, il logaritmo ci impone la condizione

una semplice disequazione fratta che ha come soluzioni .

Possiamo applicare la suddetta regola:

ma non dobbiamo dimenticarci di imporre che i singoli argomenti siano positivi, il che ci riconduce al sistema di disequazioni

Abbiamo quindi dovuto restringere l'insieme dei valori consentiti per rispetto alla condizione iniziale.

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Gli esempi servono a mostrare che le proprietà dei logaritmi forniscono strade alternative, ma equivalenti, per fare i calcoli con i logaritmi. Non solo: prestate sempre parecchia attenzioni alle condizioni che permettono di applicarle... E se volete dare uno sguardo alla dimostrazione, trovate tutto nella pagina del link. ;)