Soluzioni
  • Le doppie disequazioni sono disequazioni della forma g(x)≤f(x)≤h(x), dove f(x) è una quantità che dipende da x mentre g(x) e h(x) possono dipendere da x. Ogni disequazione doppia equivale a un sistema di disequazioni, dunque per risolverle basta costruire il sistema corrispondente e risolverlo.

    Per fissare le idee, sono esempi di disequazioni doppie:

    \\ \bullet \ -2 \le x-3 \le 5 \\ \\ \bullet \ \2x \le x^2 < 3 \\ \\ \bullet \ 1 < \log_2(x) < 4

    Evidentemente i simboli di disuguaglianza che definiscono una disequazione doppia possono essere il simbolo di minore in senso stretto (<) oppure il simbolo di minore in senso lato (≤), e non devono necessariamente essere uguali.

    Nello specifico si possono presentare i seguenti tipi di disequazioni doppie (e si approcciano tutti allo stesso modo):

    • g(x)≤f(x)≤h(x)

    • g(x)≤f(x)<h(x)

    • g(x)<f(x)≤h(x)

    • g(x)<f(x)<h(x)

    Come si risolvono le doppie disequazioni

    Consideriamo una disequazione doppia nella forma generale, come ad esempio

    g(x) \le f(x) \le h(x)

    Per risolverla dobbiamo trovare i valori di x per i quali

    g(x) \le f(x)

    e, allo stesso tempo

    f(x) \le h(x)

    Ciò significa che la precedente disequazione doppia equivale al sistema di disequazioni

    \begin{cases}g(x) \le f(x) \\ f(x) \le h(x)\end{cases}

    che, volendo, possiamo anche riscrivere in modo più elegante come

    \begin{cases}f(x) \ge g(x) \\ f(x) \le h(x)\end{cases}

    In definitiva per risolvere la disequazione doppia

    g(x) \le f(x) \le h(x)

    è sufficiente trovare le soluzioni del sistema di disequazioni

    \begin{cases}f(x) \ge g(x) \\ f(x) \le h(x)\end{cases}

    Esempio sul calcolo delle soluzioni di doppie disequazioni

    Risolvere la doppia disequazione

    2x<x^2-3 \le x^2+x+3

    Svolgimento: scriviamo il sistema di disequazioni equivalente

    \begin{cases}2x<x^2-3 \\ x^2-3 \le x^2+x+3\end{cases}

    e troviamone le soluzioni.

    Risolviamo separatamente le due disequazioni partendo dalla prima

    \bullet \ 2x<x^2-3

    Portiamo tutti i termini a primo membro prestando attenzione ai segni e ordiniamoli secondo le potenze decrescenti di x

    -x^2+2x+3<0

    Abbiamo ottenuto una disequazione di secondo grado in forma normale.

    Poiché il coefficiente del termine di grado due è negativo applichiamo il secondo principio di equivalenza delle disequazioni e moltiplichiamo ambo i membri per -1, ricordandoci di cambiare il verso della disequazione

    x^2-2x-3>0

    Risolviamola! Scriviamo l'equazione di secondo grado associata

    x^2-2x-3=0

    e troviamone le soluzioni con la formula del discriminante, secondo cui

    x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=

    sostituiamo a=1, \ b=-2, \ c=-3

    =\frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2}= \frac{2 \pm 4}{2}

    Le soluzioni dell'equazione associata sono

    x_1=\frac{2-4}{2}=-1 \ \ ; \ \ x_2=\frac{2+4}{2}=3

    e quindi quelle della disequazione

    x^2-2x-3>0

    sono

    -x<-1 \ \vee \ x>3

    Risolviamo ora la seconda disequazione del sistema

    \bullet \ x^2-3 \le x^2+x+3

    Anche qui portiamo tutti i termini a primo membro

    x^2-3 - x^2 - x - 3 \le 0

    Sommiamo i termini simili e ricaviamo la disequazione di primo grado

    - x - 6 \le 0

    che ha come soluzione

    x \ge -6

    Ricomponiamo il sistema sostituendo ciascuna disequazione con le sue soluzioni

    \begin{cases}-x<-1 \ \vee \ x>3 \\ x \ge -6\end{cases}

    e tracciamo il grafico di sistema

     

    Doppia disequazione

    Grafico di sistema associato a una doppia disequazione

     

    Da esso deduciamo che le soluzioni del sistema, e quindi della doppia disequazione, sono:

    -6 \le x <-1 \ \vee \ x>3

    ***

    È tutto! Per fare un ripasso completo di tutti i tipi di disequazioni - click!

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Wiki - Algebra