Soluzioni
  • Per semplificare il logaritmo di un radicale basta scrivere il radicale sotto forma di potenza con esponente frazionario e, successivamente, usare la proprietà del logaritmo di una potenza.

    Tra poco saremo più precisi, ma intanto ecco la formula per il logaritmo di un radicale:

    \log_a\left(\sqrt[m]{b^n}\right)=\frac{n}{m}\log_a(b) \ \ \mbox{ con } a,b >0 \mbox{ e } a \neq 1

    Per capire da dove deriva consideriamo il seguente logaritmo:

    \log_a\left(\sqrt[m]{b^n}\right) \ \ \mbox{ con } a,b >0 \mbox{ e } a \neq 1

    Una delle proprietà dei radicali ci permette di riscrivere l'argomento del logaritmo come potenza con esponente frazionario

    \log_a\left(\sqrt[m]{b^n}\right)=\log_a\left(b^{\tfrac{n}{m}}\right)=

    Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto tra l'esponente della potenza e il logaritmo della base della potenza

    =\frac{n}{m} \cdot \log_a(b)

    Abbiamo così ricavato la formula per il logaritmo di un radicale già scritta in precedenza:

    \log_a\left(\sqrt[m]{b^n}\right)=\frac{n}{m}\log_a(b) \ \ \mbox{ con } a,b >0 \mbox{ e } a \neq 1

    Alcuni libri di testo propongono questa relazione tra le proprietà dei logaritmi, ma come abbiamo visto essa discende dalla proprietà del logaritmo di una potenza, quindi è solo una sua conseguenza e non va assolutamente imparata a memoria.

    Esempi sul logaritmo di una radice

    Vediamo un paio di esempi: uno numerico e l'altro letterale.

    \log_3\left(\sqrt[12]{9^5}\right)

    Svolgimento: scriviamo il radicale come potenza con esponente fratto

    \log_3\left(\sqrt[12]{9^5}\right)=\log_3\left(9^{\tfrac{5}{12}}\right)=

    e applichiamo la proprietà del logaritmo di una potenza

    =\frac{5}{12} \cdot \log_3(9)=

    Per definizione di logaritmo, il logaritmo in base 3 di 9 è uguale a 2

    =\frac{5}{12} \cdot 2 = \frac{5}{6}

    e abbiamo finito.

    \ln\left(\sqrt[4]{b^{28}}\right)

    Svolgimento: per prima cosa osserviamo che l'espressione ha significato a patto che l'argomento del logaritmo sia positivo, dunque imponiamo che sia

    b^{28}>0

    L'unica condizione da imporre, per il momento, è b\neq 0, infatti una potenza con esponente pari è necessariamente non negativa.

    A questo punto scriviamo il radicale come potenza:

    \ln\left(\sqrt[4]{b^{28}}\right) = \ln\left(b^{\tfrac{28}{4}}\right)=

    Facciamo diventare l'esponente della potenza un fattore moltiplicativo del logaritmo

    =\frac{28}{4} \cdot \ln(b)=

    per fare questo però dobbiamo imporre la condizione b>0 in modo che l'espressione abbia significato.

    Non ci resta che ridurre la frazione ai minimi termini

    =7\ln (b) \ \ \mbox{ con } b>0

    e abbiamo semplificato il logaritmo.

    ***

    Per concludere ti consigliamo di dare un'occhiata:

    - alla lezione di riepilogo sulle proprietà dei logaritmi;

    - alla scheda di esercizi sulle proprietà dei logaritmi, dove trovi altri esercizi sul logaritmo di un radicale.

    Risposta di Galois
 
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