Soluzioni
  • La formula per il logaritmo del prodotto stabilisce che il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei due fattori, a patto che entrambi i fattori siano maggiori di zero:

    \log_a(x y)= \log_a(x)+\log_a(y)\\ \\ \mbox{ con }x>0,\ y>0,\ a>0,\ a\neq 1

    indipendentemente dalla base del logaritmo. In pratica la regola del logaritmo di un prodotto permette:

    - di riscrivere il logaritmo di un prodotto come somma dei logaritmi dei fattori (purché siano entrambi maggiori di zero);

    - di esprimere la somma di due logaritmi nella medesima base come logaritmo del prodotto dei loro argomenti, nella stessa base.

    Importante: per definizione di logaritmo i termini del prodotto devono essere entrambi positivi, altrimenti i logaritmi al secondo membro non esistono!

    Vediamo qualche esempio.

    Esempio 1 - Logaritmo del prodotto di due numeri

    Vogliamo utilizzare la formula del logaritmo del prodotto per esprimere \ln(6) in una forma equivalente.

    Per prima cosa scomponiamo in fattori primi il numero: 6=2\cdot 3, dunque

    \ln(6)=\ln(2\cdot 3)

    Nell'argomento del logaritmo appare un prodotto di fattori positivi, quindi possiamo innescare la precedente formula

    \ln(6)=\ln(2\cdot 3)= \ln(2)+\ln(3)

    Da notare che potremmo scrivere 6=(-2)\times (-3), in accordo con la regola dei segni, ma tale scomposizione non ci permetterebbe di applicare la regola.

    Esempio 2 - Logaritmo di un prodotto di tre numeri

    Vogliamo calcolare il logaritmo decimale \mbox{Log}(30).

    Scriviamo 30 come 30=2\cdot 3\cdot 5. Pertanto:

    \mbox{Log}(30)=\mbox{Log}(2\cdot 3\cdot 5)=

    Si intuisce facilmente che possiamo reiterare la formula

    =\mbox{Log}((2\cdot 3)\cdot 5)=\mbox{Log}(2\cdot 3)+\mbox{Log}(5)=\\ \\ =\mbox{Log}(2)+\mbox{Log}(3)+\mbox{Log}(5)

    In alternativa avremmo potuto considerare la scomposizione 30=3\cdot 10

    \mbox{Log}(30)=\mbox{Log}(3\cdot 10)=\mbox{Log}(3)+\mbox{Log(10)}=

    e, in accordo con la definizione di logaritmo

    =\mbox{Log}(3)+1

    Esempio 3 - Dalla somma di logaritmi al logaritmo del prodotto

    Tale proprietà può essere usata anche all'inverso per valutare numericamente determinate somme di logaritmi. Ad esempio

    \log_{12}(3)+\log_{12}(4)=\log_{12}(3\cdot 4)=\log_{12}(12)=1

    Esempio 4 - Logaritmo di un prodotto letterale

    Cerchiamo di esprimere in una forma equivalente \log_2(x^2+2x+1).

    Dalla regola per il quadrato di binomio 

    x^2+2x+1=(x+1)^2=(x+1)(x+1)

    In particolare, si vede che l'espressione ha significato a patto che

    (x+1)^2>0

    Poiché un quadrato è per definizione maggiore o uguale a zero, il logaritmo impone che sia

    x+1\neq 0\ \ \to\ \ x\neq -1

    A questo punto possiamo procedere in due modi:

    - usare la regola per il logaritmo del prodotto

    \log_2(x^2+2x+1)=\log_2((x+1)(x+1))=\log_2(x+1)+\log_2(x+1)=\\ \\ =2\log_2(x+1)

    che vale purché risulti

    x+1>0\ \ \to\ \ x>-1

    - Usare la regola per il logaritmo di una potenza

    \log_2(x^2+2x+1)=\log_2((x+1)^2)=2\log_2(x+1)

    che è applicabile sotto la condizione

    x+1>0\ \ \to\ \ x>-1

    In entrambi i casi giungiamo facilmente al medesimo risultato.

    ***

    Per approfondire l'argomento e per leggere la dimostrazione della proprietà: proprietà dei logaritmi. ;)

    Risposta di Ifrit
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