Soluzioni
  • Il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei fattori che compongono l'argomento, a patto però che tutti i fattori siano maggiori di zero.

    \log_a(b \cdot c)= \log_a(b)+\log_a(c) \ \ \mbox{ con }a,b,c >0 \mbox{ e } a\neq 1

    Ovviamente la proprietà si estende anche al caso di tre o più fattori, purché siano tutti positivi.

    All'atto pratico la regola del logaritmo di un prodotto permette:

    - di riscrivere il logaritmo di un prodotto come somma dei logaritmi dei fattori;

    - di esprimere la somma di logaritmi con la stessa base come logaritmo del prodotto dei loro argomenti.

    L'abbiamo già scritto, ma lo ribadiamo: per definizione di logaritmo i termini del prodotto devono essere positivi, altrimenti i logaritmi al secondo membro non sono definiti.

    Vediamo prima qualche esempio e passiamo successivamente alla dimostrazione di questa proprietà.

    Esempio 1 - Logaritmo del prodotto di due numeri

    Vogliamo utilizzare la formula del logaritmo del prodotto per esprimere \ln(6) in una forma equivalente.

    Per prima cosa scomponiamo in fattori primi il numero 6

    6=2\cdot 3

    dunque

    \ln(6)=\ln(2\cdot 3)

    Nell'argomento del logaritmo appare un prodotto di fattori positivi, quindi possiamo applicare la precedente formula:

    \ln(6)=\ln(2\cdot 3)= \ln(2)+\ln(3)

    Da notare che potremmo scrivere 6=(-2)\times (-3), in accordo con la regola dei segni, ma tale scomposizione non ci permetterebbe di applicare la regola.

    Esempio 2 - Logaritmo di un prodotto di tre numeri

    Vogliamo calcolare il logaritmo decimale \mbox{Log}(30).

    Scriviamo 30 come prodotto tra fattori primi

    30=2\cdot 3\cdot 5

    e abbiamo

    \mbox{Log}(30)=\mbox{Log}(2\cdot 3\cdot 5)=

    In questo caso i fattori sono tre, ma non importa! Il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori, indipendentemente da quanti essi siano

    =\mbox{Log}(2)+\mbox{Log}(3)+\mbox{Log}(5)

    In alternativa avremmo potuto considerare la scomposizione

    30=3\cdot 10

    da cui avremmo ottenuto

    \mbox{Log}(30)=\mbox{Log}(3\cdot 10)=\mbox{Log}(3)+\mbox{Log(10)}=

    e in accordo con la definizione di logaritmo:

    =\mbox{Log}(3)+1

    Esempio 3 - Logaritmo di un prodotto letterale

    Cerchiamo di esprimere in una forma equivalente

    \log_2(x^2+2x+1)

    Dalla regola per il quadrato di binomio risulta

    x^2+2x+1=(x+1)^2=(x+1)(x+1)

    quindi

    \log_2(x^2+2x+1) = \log_2\left((x+1)^2\right)=\log_2((x+1)(x+1))

    L'espressione ha significato a patto che l'argomento del logaritmo sia positivo, dunque imponiamo che sia

    (x+1)^2>0

    Poiché un quadrato è per definizione maggiore o uguale a zero, ci basta imporre che la base del quadrato sia diversa da zero

    x+1\neq 0\ \ \to\ \ x\neq -1

    A questo punto possiamo procedere in due modi.

    1) Usare la regola per il logaritmo del prodotto

    \\ \log_2(x^2+2x+1)=\log_2((x+1)(x+1))= \\ \\ = \log_2(x+1)+\log_2(x+1)=2\log_2(x+1)

    che vale purché risulti

    x+1>0\ \ \to\ \ x>-1

    2) In alternativa, usare la regola per il logaritmo di una potenza

    \log_2(x^2+2x+1)=\log_2((x+1)^2)=2\log_2(x+1)

    che è applicabile sotto la condizione

    x+1>0\ \ \to\ \ x>-1

    In entrambi i casi giungiamo facilmente al medesimo risultato.

    Dimostrazione della proprietà del logaritmo del prodotto

    Riscriviamo la proprietà che vogliamo dimostrare

    \log_a(b \cdot c)= \log_a(b)+\log_a(c) \ \ \mbox{ con }a,b,c >0 \mbox{ e } a\neq 1

    e poniamo

    \log_a(b)=m \ \ \ ; \ \ \ \log_a(c)=n

    Il logaritmo è, per definizione, l'esponente che bisogna dare alla base per ottenere l'argomento, dunque dalle precedenti uguaglianze otteniamo:

    b=a^m \ \ \ ; \ \ \ c=a^n

    Moltiplichiamo membro a membro

    b \cdot c = a^m \cdot a^n

    Per una delle proprietà delle potenze, il prodotto di potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti

    b \cdot c = a^{m+n}

    Usiamo nuovamente la definizione di logaritmo e riscriviamo la precedente uguaglianza in forma logaritmica

    \log_a(b \cdot c)=m+n

    Ci siamo! Sostituiamo m=\log_a(b) ed n=\log_a(c) e otteniamo proprio la formula del logaritmo del prodotto

    \log_a(b \cdot c)= \log_a(b)+\log_a(c)

    Altro utilizzo della proprietà del logaritmo del prodotto

    La proprietà del logaritmo di un prodotto può essere usata anche all'inverso per valutare numericamente determinate somme di logaritmi, come ad esempio

    \log_{12}(3)+\log_{12}(4)=\log_{12}(3\cdot 4)=\log_{12}(12)=1

    Se vuoi saperne di più e se vuoi vedere altri esempi, ti rimandiamo all'approfondimento sulla somma di logaritmi - click!

    ***

    È tutto! Qualora volessi fare un ripasso di tutte le proprietà dei logaritmi - click!

    Risposta di Galois
 
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