Calcolo del residuo

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L'esame di Analisi Complessa si avvicina e ho forti duddi sul calcolo del residuo di una funzione in punto. Potreste aiutarmi a schiarirmi le idee e mostrarmi come calcolare i residui?...

Domanda di FAQ

 
Soluzioni

  • Supponiamo di avere una funzione (complessa di una variabile complessa) f(z). Gli esercizi classici di Analisi Complessa chiedono ti trovare e classificare le singolarità isolate di tale funzione e di calcolarne poi il residuo. Ti sei mai chiesto il perché?

    Perché è interessante calcolare il residuo di una funzione solo nei suoi punti singolari. Attenzione! Nulla vieta di calcolarlo in qualsiasi punto ci venga in mente ma, se il punto in cui decidiamo di calcolarlo è un punto regolare per la nostra funzione, allora il Residuo è pari a zero ;)

     

    Detto questo, quindi, la prima cosa da fare è: trovare le singolarità della nostra funzione. Do per scontato che tu sappia farlo. Se dovessi avere dubbi a riguardo è spiegato tutto nella pagina del precedente link.

    Fatto questo, ammesso che z_0 sia la singolarità trovata, se risulta agevole scrivere lo sviluppo in Serie di Laurent (nel punto) abbiamo già finito!

    Infatti il residuo, che si indica con a_(-1), altro non è che il coefficiente del termine (1)/(z-z_0) nello sviluppo.

     

    Se scrivere lo sviluppo in serie risulta proibitivo dobbiamo innanzitutto identificare il tipo di singolarità che abbiamo di fronte. Fatto ciò, supponendo che

    z_0 sia il punto singolare trovato, distinguiamo 3 casi:



    1) Se z_0 è una singolarità eliminabile: Res(f, z_0) = 0

    Non serve fare alcun tipo di calcolo! Il motivo è semplicissimo. Se la singolarità è eliminabile, per definizione, la parte singolare dello sviluppo in serie di Laurent è nulla. Di conseguenza tale sarà anche a_(-1), ovvero il residuo.

     

    2) Se z_0 è una singolarità di tipo polare, occorre trovar l'ordine del polo. Fatto ciò:

    2a) Se z_0 è un polo semplice (ovvero di ordine p=1):

    Res(f, z_0) = lim_(z → z_0)[ f(z)·(z-z_0)]

    2b) Se z_0 è un polo di ordine p ≥ 2

    Res(f, z_0) = (1)/((p-1)!)·lim_(z → z_0)((d)/(dz))^(p-1)[ f(z)·(z-z_0)^p]

     

    Esempio

     

    Sia f(z) = (1)/(z(1+z^2)^2)

    Tale funzione ha tre punti singolari:

    z_0 = 0 che è uno zero di ordine uno per il denominatore;

    z_1 = i e z_2 = -i che sono zeri di ordine due per il denominatore;

    Non essendo zeri per il numeratore possiamo affermare che z_0 = 0 è un polo semplice per f(z), mentre z_1 = i e z_2 = -i sono poli di ordine p = 2.


    Calcoliamone i residui. Per quanto appena visto:

    Res(f(z), z_0) = Res ((1)/(z(1+z^2)^2, 0)) = lim_(z → 0)[ (1)/(z(1+z^2)^2)·z] = lim_(z → 0)[(1)/((1+z^2)^2)] = 1

    Mentre:

    Res(f(z), z_1) = Res ((1)/(z(1+z^2)^2, i)) =

    = (1)/((2-1)!)·lim_(z → i)((d)/(dz))^(2-1)[ (1)/(z(z-i)^2(z+i)^2)·(z-i)^2] =

    = lim_(z → i) [ (1)/(z(z+i)^2)]' = lim_(z → i) (-3z-i)/(z^2(z+i)^3) = -(1)/(2)

    A te il calcolo del residuo in z_2. Ti dico solo che è uguale sempre a -(1)/(2)

    Infine:

     

    3) Se z_0 è una singolarità di tipo essenziale, ahimè, dobbiamo solo "sporcarci le mani", armarci di pazienza e scrivere lo sviluppo in Serie di Laurent nel punto z_0.

    Concludo richiamando la tua attenzione su un aspetto a causa del quale fioccano le bocciature o quanto meno grossi abbassamenti del voto :(

    Abbiamo detto che se z_0 è una singolarità di tipo eliminabile allora il Residuo della funzione in tal punto vale zero. Attenzione però: NON E' VERO il viceversa! Un esempio classico (da sfoggiare all'esame :P ) è la funzione

    f(z) = (1)/(z^2)

    che presenta in z_0 = 0 un polo di ordine due, ed il cui residuo nello zero vale proprio zero ;)

     

    E' tutto! ;)

    Risposta di Galois
 
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