Soluzioni
  • Si dicono angoli opposti al vertice due angoli convessi disposti in modo tale che i lati dell'uno siano i prolungamenti dei lati dell'altro. In altri termini, due angoli opposti al vertice sono due angoli aventi il vertice in comune e i lati disposti su due rette incidenti del piano.

    Per fissare le idee consideriamo le seguenti due coppie di angoli:

     

    Angoli opposti al vertice

     

    Gli angoli \alpha,\beta della prima immagine sono due angoli opposti al vertice, infatti i lati a,b dell'angolo \alpha sono il prolungamento dei lati c,d dell'angolo \beta.

    Gli angoli \gamma,\delta della seconda immagine invece non sono angoli opposti al vertice. Sebbene abbiano il vertice in comune, il lato d dell'angolo \gamma non è il prolungamento del lato b dell'angolo \delta.

    Teorema degli angoli opposti al vertice

    Una delle principali proprietà degli angoli opposti al vertice discende da un vero e proprio teorema, secondo cui due angoli opposti al vertice sono congruenti.

    Dimostrazione

    Siano \alpha,\beta due angoli opposti al vertice e chiamiamo \delta uno a piacere tra gli altri due angoli individuati dalle rette incidenti che li definiscono.

     

    Teorema angoli opposti al vertice

     

    Dobbiamo dimostrare che \alpha,\beta sono due angoli congruenti, ossia che

    \widehat{\alpha}=\widehat{\beta}

    Osserviamo che gli angoli \alpha,\delta sono angoli adiacenti, e quindi angoli supplementari; di conseguenza:

    \widehat{\alpha} + \widehat{\delta} = 180^{\circ}

    Anche gli angoli \beta e \delta sono adiacenti, per cui

    \widehat{\beta} + \widehat{\delta} = 180^{\circ}

    Ne consegue che la somma delle ampiezze degli angoli \alpha,\beta uguaglia la somma delle ampiezze degli angoli \beta,\delta

    \widehat{\alpha} + \widehat{\delta} = \widehat{\beta} + \widehat{\delta}

    Sottraendo da entrambi i membri l'ampiezza dell'angolo \delta si ottiene

    \widehat{\alpha} = \widehat{\beta}

    e ciò conclude la dimostrazione.

    Proprietà degli angoli opposti al vertice

    1) Una coppia di angoli opposti al vertice individua un'altra coppia di angoli, anch'essi opposti al vertice e quindi congruenti.

    2) Se la somma di due angoli opposti al vertice è un angolo piatto, allora i due angoli sono retti e le due rette che definiscono i lati degli angoli sono rette perpendicolari.

    Esempi di angoli opposti al vertice

    Sono esempi di angoli opposti al vertice:

    1) un angolo convesso e l'angolo che si ottiene prolungando i suoi lati;

    2) le due coppie di angoli formati da due rette incidenti;

    3) Due angoli esterni associati allo stesso angolo interno di un poligono;

    4) l'angolo interno di un poligono convesso e l'angolo che si ottiene prolungando i suoi lati.

    ***

    Per un ripasso sugli angoli e sui tipi di angolo vi rimandiamo alla lezione del link. ;)

    Risposta di Galois
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