Angoli opposti al vertice

Due angoli opposti al vertice sono due angoli convessi disposti in modo tale che i lati dell'uno siano i prolungamenti dei lati dell'altro, e sono sempre congruenti; in altri termini due angoli opposti al vertice α, β hanno il vertice in comune e i lati disposti su due rette incidenti, e risulta sempre α=β.

Per fissare le idee consideriamo le seguenti due coppie di angoli:

Gli angoli della prima immagine sono due angoli opposti al vertice, infatti i lati dell'angolo sono il prolungamento dei lati dell'angolo .

Gli angoli della seconda immagine invece non sono angoli opposti al vertice. Sebbene abbiano il vertice in comune, il lato dell'angolo non è il prolungamento del lato dell'angolo .

Teorema degli angoli opposti al vertice

Una delle principali proprietà degli angoli opposti al vertice discende da un vero e proprio teorema, secondo cui due angoli opposti al vertice sono congruenti.

Dimostrazione

Siano due angoli opposti al vertice e chiamiamo uno a piacere tra gli altri due angoli individuati dalle rette incidenti che li definiscono.

Dobbiamo dimostrare che sono due angoli congruenti, ossia che

Osserviamo che gli angoli sono angoli adiacenti, e quindi angoli supplementari; di conseguenza:

Anche gli angoli e sono adiacenti, per cui

Ne consegue che la somma delle ampiezze degli angoli uguaglia la somma delle ampiezze degli angoli

Sottraendo da entrambi i membri l'ampiezza dell'angolo si ottiene

e ciò conclude la dimostrazione.

Proprietà degli angoli opposti al vertice

1) Una coppia di angoli opposti al vertice individua un'altra coppia di angoli, anch'essi opposti al vertice e quindi congruenti.

2) Se la somma di due angoli opposti al vertice è un angolo piatto, allora i due angoli sono retti e le due rette che definiscono i lati degli angoli sono rette perpendicolari.

Esempi di angoli opposti al vertice

Sono esempi di angoli opposti al vertice:

1) un angolo convesso e l'angolo che si ottiene prolungando i suoi lati;

2) le due coppie di angoli formati da due rette incidenti;

3) due angoli esterni associati allo stesso angolo interno di un poligono;

4) l'angolo interno di un poligono convesso e l'angolo che si ottiene prolungando i suoi lati.

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Per un ripasso sugli angoli e sui tipi di angolo vi rimandiamo alla lezione del link. ;)