Soluzioni
  • Il medio proporzionale tra A e B è il valore M che soddisfa la proporzione A:M=M:B. In altri termini il medio proporzionale tra A e B e la grandezza che soddisfa la proporzione con estremi dati da A e B ed entrambi i medi dati da M.

    Come puoi notare stiamo sostanzialmente parlando di un particolare tipo di proporzioni

    Si chiama medio proporzionale tra due grandezze A e B la quantità M che soddisfa la proporzione

    A:M=M:B

    In pratica il nome dice tutto: il medio proporzionale tra due numeri o grandezze è quel numero o grandezza che completa la proporzione "in medio", cioè nel mezzo. :)

    Nomenclatura per il medio proporzionale

    A proposito, se riprendiamo la proporzione del medio proporzionale che abbiamo scritto all'inizio

    A:M=M:B

    in generale si chiamano:

    - primo proporzionale → il primo termine della proporzione, cioè A;

    medio proporzionale → il termine di mezzo che si ripete, cioè M;

    - terzo proporzionale → l'ultimo termine della proporzione, cioè B.

    Formula per calcolare il medio proporzionale

    Possiamo dire qualcosa in più e dare una formula per il calcolo del medio proporzionale conoscendo i due numeri A,B.

    Dalla precedente proporzione usiamo la proprietà fondamentale per riscriverla come un'equazione

    M\times M=A\times B

    cioè

    M^2=A\times B

    Attenzione: facendo i calcoli abbiamo trasformato la proporzione in un'equazione di secondo grado.

    Se estraiamo la radice quadrata di entrambi i termini ricaviamo due possibili valori del medio proporzionale, perché M è un'incognita

    M=\pm\sqrt{A\times B}=\begin{cases}-\sqrt{A\times B}\\ +\sqrt{A\times B}\end{cases}

    Da qui si capisce che, in generale, data una proporzione con medio proporzionale incognito abbiamo due possibil soluzioni che soddisfano la proporzione:

    - soluzione con segno negativo: M=-\sqrt{A\times B}

    - soluzione con segno positivo: M=\sqrt{A\times B}

    Nei problemi e negli esercizi sarà nostra cura interpretare correttamente la traccia e valutare quali soluzioni da accettare dopo aver applicato la formula. In generale, negli esercizi e nei problemi di Geometria la soluzione negativa deve essere scartata, perché i valori fanno riferimento a delle lunghezze che per definizione devono essere positive.

    Più precisamente possiamo distinguere tra due tipi di medio proporzionale:

    - medio proporzionale algebrico → partendo dalla proporzione otteniamo sempre due possibili soluzioni, date dalla formula

    M=\pm\sqrt{A\times B}

    - medio proporzionale geometrico → ci si limita alla soluzione positiva

    M=\sqrt{A\times B}

    Esempi di calcolo del medio proporzionale

    Vediamo due semplici esercizi svolti.

    1) Calcoliamo il medio proporzionale dei numeri 3 e 27.

    Svolgimento: chiamiamo il medio M. Sappiamo che deve valere la proporzione

    3:M=M:27

    e il suo valore, in accordo con la precedente formula, è dato da

    M=\pm\sqrt{3\times 27}=\pm\sqrt{81}=\begin{cases}-9\\ +9\end{cases}

    È facile verificare che entrambe le soluzioni fungono da medi proporzionali tra i valori 3 e 27, infatti

    \\ 3:(-9)=(-9):27\\ \\ 3:9=9:27

    2) Calcolare il medio proporzionale tra le lunghezze 5 e 125.

    Svolgimento: dato che stiamo ragionando con delle lunghezze dobbiamo considerare solamente la soluzione positiva

    M=\sqrt{5\times 125}=\sqrt{625}=25

    Applicazioni del medio proporzionale

    Il concetto di medio proporzionale gioca un ruolo fondamentale in Matematica e in Geometria ed ha una marea di applicazioni pratiche e teoriche. Basti pensare ad esempio a:

    - la proporzione aurea

    - la sezione aurea

    - il rettangolo aureo

    - il numero aureo.

    È tutto. Se vuoi ripassare le proporzioni, tutte le proprietà che le caratterizzano e i metodi per la risoluzione degli esercizi ti rimando alla lezione del link. Sappi che qui su YM c'è anche un comodo tool ;)

    Risposta di Omega
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