Medio proporzionale

Il medio proporzionale tra A e B è il valore M che soddisfa la proporzione A:M=M:B. In altri termini il medio proporzionale tra A e B e la grandezza che soddisfa la proporzione con estremi dati da A e B ed entrambi i medi dati da M.

Come puoi notare stiamo sostanzialmente parlando di un particolare tipo di proporzioni

Si chiama medio proporzionale tra due grandezze A e B la quantità M che soddisfa la proporzione

In pratica il nome dice tutto: il medio proporzionale tra due numeri o grandezze è quel numero o grandezza che completa la proporzione "in medio", cioè nel mezzo. :)

Nomenclatura per il medio proporzionale

A proposito, se riprendiamo la proporzione del medio proporzionale che abbiamo scritto all'inizio

in generale si chiamano:

- primo proporzionale → il primo termine della proporzione, cioè A;

- medio proporzionale → il termine di mezzo che si ripete, cioè M;

- terzo proporzionale → l'ultimo termine della proporzione, cioè B.

Formula per calcolare il medio proporzionale

Possiamo dire qualcosa in più e dare una formula per il calcolo del medio proporzionale conoscendo i due numeri A,B.

Dalla precedente proporzione usiamo la proprietà fondamentale per riscriverla come un'equazione

cioè

Attenzione: facendo i calcoli abbiamo trasformato la proporzione in un'equazione di secondo grado.

Se estraiamo la radice quadrata di entrambi i termini ricaviamo due possibili valori del medio proporzionale, perché M è un'incognita

Da qui si capisce che, in generale, data una proporzione con medio proporzionale incognito abbiamo due possibil soluzioni che soddisfano la proporzione:

- soluzione con segno negativo:

- soluzione con segno positivo:

Nei problemi e negli esercizi sarà nostra cura interpretare correttamente la traccia e valutare quali soluzioni da accettare dopo aver applicato la formula. In generale, negli esercizi e nei problemi di Geometria la soluzione negativa deve essere scartata, perché i valori fanno riferimento a delle lunghezze che per definizione devono essere positive.

Più precisamente possiamo distinguere tra due tipi di medio proporzionale:

- medio proporzionale algebrico → partendo dalla proporzione otteniamo sempre due possibili soluzioni, date dalla formula

- medio proporzionale geometrico → ci si limita alla soluzione positiva

Esempi di calcolo del medio proporzionale

Vediamo due semplici esercizi svolti.

1) Calcoliamo il medio proporzionale dei numeri 3 e 27.

Svolgimento: chiamiamo il medio M. Sappiamo che deve valere la proporzione

e il suo valore, in accordo con la precedente formula, è dato da

È facile verificare che entrambe le soluzioni fungono da medi proporzionali tra i valori 3 e 27, infatti

2) Calcolare il medio proporzionale tra le lunghezze 5 e 125.

Svolgimento: dato che stiamo ragionando con delle lunghezze dobbiamo considerare solamente la soluzione positiva

Applicazioni del medio proporzionale

Il concetto di medio proporzionale gioca un ruolo fondamentale in Matematica e in Geometria ed ha una marea di applicazioni pratiche e teoriche. Basti pensare ad esempio a:

- la proporzione aurea

- la sezione aurea

- il rettangolo aureo

- il numero aureo.

È tutto. Se vuoi ripassare le proporzioni, tutte le proprietà che le caratterizzano e i metodi per la risoluzione degli esercizi ti rimando alla lezione del link. Sappi che qui su YM c'è anche un comodo tool ;)