Soluzioni
  • Un insieme discreto di numeri reali è un insieme costituito solamente da punti isolati.

    Definizione di insieme discreto

    Più precisamente, diciamo che un insieme reale A\subseteq\mathbb{R} è un insieme discreto se ogni punto di A è un punto isolato (secondo la definizione standard di punto isolato in \mathbb{R}).

    Esempi di insiemi discreti

    1) L'insieme dei numeri naturali \mathbb{N}\subset\mathbb{R} è un insieme discreto.

    Per capirlo ci basta mostrare che ogni n\in\mathbb{N} è un punto isolato di \mathbb{N}. A tal proposito ci basta osservare che per ogni n\in\mathbb{N} esiste almeno un intorno di n che non contiene altri elementi di \mathbb{N} oltre ad n stesso: è sufficiente considerare un intorno con raggio \varepsilon<1, ad esempio B\left(n,\frac{1}{2}\right)

    \forall n\in\mathbb{N}\ \exists\varepsilon>0\mbox{ t.c. }B^*(n,\varepsilon)\cap\mathbb{N}=\emptyset

    dove B^*(n,\varepsilon) denota l'intorno bucato di centro n e raggio \varepsilon

    Scegliendo \varepsilon<1 siamo certi che B^*(n,\varepsilon) non conterrà alcun elemento di \mathbb{N}.

    2) Con un ragionamento analogo al precedente si dimostra che l'insieme dei numeri interi \mathbb{Z} è un insieme discreto.

    3) Un qualsiasi insieme finito, ossia un qualsiasi insieme A\subset\mathbb{R} con cardinalità finita è un insieme discreto

    A\subset\mathbb{R},\ \mbox{card}(A)<\infty\ \Rightarrow\ A\mbox{discreto}

    Per dimostrarlo è sufficiente ragionare per assurdo e, negando la tesi, supporre che A abbia almeno un punto di accumulazione.

    L'ipotesi d'assurdo implica che A sia infinito in contrasto con l'ipotesi di finitezza: infatti se A avesse un punto di accumulazione x_0, allora per ogni intorno di x_0 dovrebbe esistere almeno un punto (e quindi infiniti) dell'insieme A diverso da x_0 e appartenente all'intorno.

    4) Anche se la questione è piuttosto contro-intuitiva, l'insieme vuoto è un insieme discreto poiché è costituito da soli punti isolati (suggerimento: l'insieme vuoto è privo di elementi).

    L'insieme dei numeri razionali è discreto?

    No: l'insieme \mathbb{Q} dei numeri razionali non è discreto perché non è costituito da soli punti isolati.

    Di più: \mathbb{Q} non ha alcun punto isolato: si può dimostrare facilmente che tutti i punti di Q sono punti di accumulazione per l'insieme \mathbb{Q}, infatti per ogni razionale q\in\mathbb{Q}, comunque si consideri un intorno B(q,\varepsilon) è possibile individuare un altro razionale \overline{q}\in\mathbb{Q} tale che \overline{q}\neq q e tale per cui \overline{q}\in B(q,\varepsilon).

    \forall q\in Q\ \to\ \forall\varepsilon>0\ \exists \overline{q}\in\mathbb{Q},\ \overline{q}\neq q\mbox{ t.c. }\overline{q}\in B(q,\varepsilon)

    D'altro canto, a titolo di completezza è bene tenere presente che \mathbb{Q} non contiene tutti i propri punti di accumulazione. In forza della completezza dei numeri reali si può dimostrare che i numeri irrazionali sono punti di accumulazione per l'insieme Q.

    Complessivamente, l'insieme di tutti e soli i punti di accumulazione di \mathbb{Q} è \mathbb{R}. In altri termini \mathbb{R} è l'insieme derivato di \mathbb{Q}

    D(\mathbb{Q})=\mathbb{R}

    e inoltre \mathbb{R} è la chiusura dell'insieme \mathbb{Q}

    \overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}

    La particolarità di \mathbb{Q} discende da una proprietà che lo caratterizza: si dice che \mathbb{Q} è un insieme denso, e più precisamente che Q è denso in R. Ci occupiamo di questo aspetto in una lezione a parte.

    Insieme discreto VS insieme continuo

    Un'altra proprietà che può caratterizzare gli insiemi reali è la proprietà di continuità. La nozione di insieme continuo non è affatto semplice da definire in termini formali e tipicamente viene introdotta nei corsi di Topologia.

    Per gli studenti delle scuole superiori e delle varie facoltà universitarie ≠ Matematica, si suol dire grossolanamente che un insieme reale è continuo se non ha buchi, dopodiché si chiude la questione asserendo che gli unici insiemi continui in \mathbb{R} sono gli intervalli con estremi non coincidenti (non degeneri).

    Utilità della nozione di insieme discreto

    Gli insiemi discreti rivestono un ruolo di fondamentale importanza nella modellizzazione dell'Analisi Matematica. A questo proposito vi è un'intera branca della Matematica che si occupa di trasporre i risultati dell'Analisi Matematica dal continuo al discreto, studiando nel contempo gli errori che tale passaggio comporta e mantenendoli sotto controllo, detta Analisi Numerica.

    Se pensate che tutto ciò sia inutile o fine a se stesso, vi facciamo sommessamente notare che solo la mente umana è in grado di lavorare nel continuo. I PC, ad esempio, possono lavorare esclusivamente nel discreto. ;)

    Miti da sfatare sugli insiemi discreti e sugli insiemi continui

    Torniamo a noi. Se poco fa ci siamo dilungati sull'insieme Q è perché esso fornisce in un colpo solo alcuni utili controesempi per sfatare miti ricorrenti tra gli studenti:

    - non è vero che tutti gli insiemi reali sono discreti oppure continui. \mathbb{Q} è un perfetto esempio di insieme che non è discreto e non è continuo;

    - un insieme numerabile non è necessariamente discreto. \mathbb{N},\mathbb{Z} sono numerabili e discreti, mentre \mathbb{Q} è numerabile ma non discreto;

    - un'insieme dato dall'unione numerabile di singleton non è necessariamente un insieme discreto. Idem come sopra;

    - un insieme con potenza del continuo non è necessariamente un insieme continuo. A tal proposito basta considerare l'insieme [0,1]\cup\{2\}.

    Risposta di Omega
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