Soluzioni
  • La prima cosa da fare è proprio risolvere la disequazione nell'intervallo di periodicità. Sappiamo infatti che il seno è una funzione periodica con periodo 2\pi, quindi possiamo risolvere la disequazione in un qualsiasi intervallo di ampiezza 2\pi ed estendere le soluzioni per periodicità a tutte le x.

    Per comodità risolviamo la disequazione per 0\leq x\leq 2\pi.

    \sin{(x)}>0

    è una disequazione goniometrica elementare, il che vuol dire che possiamo risolverla facendo riferimento solo alla definizione di seno (click!).

    Sappiamo che il seno in x=0 vale 0.

    Per angoli compresi nel primo quadrante, cioè 0<x<\pi/2, assume valori compresi tra 0 e 1.

    In x=\pi/2 vale 1.

    Per angoli nel secondo quadrante, cioè \pi/2<x<\pi, ha valori compresi tra 1 e 0.

    In x=\pi vale 0.

    Nel terzo e nel quarto quadrante cioè in \pi<x<2\pi assume valori negativi.

    Nota che ho fatto proprio il giro della circonferenza goniometrica. :)

    Di conseguenza nell'intervallo 0\leq x\leq 2\pi il seno è maggiore di 0 per

    \sin{(x)}>0\ \to\ 0<x<\pi

    Se vogliamo estendere l'insieme delle soluzioni per periodicità, consideriamo tutti i multipli interi relativi (con segno) di 2\pi e li sommiamo agli estremi dell'intervallo delle soluzioni

    \sin{(x)}>0\ \to\ 0+2k\pi<x<\pi+2k\pi\mbox{ con }k\in\mathbb{Z}

    Volendo possiamo scrivere le soluzioni in una forma più compatta

    \sin{(x)}>0\ \to\ 2k\pi<x<(2k+1)\pi\mbox{ con }k\in\mathbb{Z}

    Namasté!

    Risposta di Omega
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