Soluzioni
  • Parlare di funzione monotona ma non invertibile è un po' impreciso e ci sono diverse precisazioni da fare per fornire una risposta completa.

    Innanzitutto sappiamo che f:A\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R} è una funzione invertibile se e solo se è sia iniettiva che suriettiva.

    D'altra parte sappiamo anche che la suriettività non è una condizione particolarmente stringente, e che la condizione veramente rilevante per far sì che una funzione sia invertibile è che essa sia iniettiva.

    Una funzione strettamente monotona su un insieme è iniettiva

    Se una funzione f è monotona strettamente crescente in un insieme A allora la funzione è certamente iniettiva. Vale un'osservazione del tutto analoga nel caso in cui f sia strettamente decrescente.

    Cerchiamo di capirne il motivo soffermandoci sul caso di una funzione strettamente crescente, giusto per fissare le idee.

    Per ipotesi sappiamo che la funzione è monotona strettamente crescente, e ciò significa che comunque si considerino x_1<x_2 nell'insieme A allora f(x_1)<f(x_2)

    Se consideriamo a,b\in A con a\ne b allora sono date due possibilità:

    • a<b e per la stretta crescenza della funzione si ha che

    f(a)<f(b)\ \implies\ f(a)\ne f(b) 

    • b<a e per la stretta crescenza della funzione si ha che

    f(b)<f(a)\ \implies\ f(a)\ne f(b) 

    In entrambi i casi elementi diversi hanno immagini diverse e ciò assicura l'iniettività.

    In sintesi una funzione strettamente crescente (o strettamente decrescente) su un insieme è necessariamente iniettiva, quindi possiamo ottenere un esempio di funzione strettamente monotona ma non invertibile ragionando sul codominio della funzione. In altre parole ci basta fare in modo che la funzione considerata non sia suriettiva

    Esempio

    La funzione

    f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}

    data da

    f(x)=x^2

    è monotona strettamente crescente su A=[0,+\infty), dunque è ivi iniettiva, ma non è suriettiva perché l'immagine della funzione non coincide con il codominio

    Im(f)=[0,+\infty)\subset\mathbb{R}=Cod(f)

    Abbiamo così un esempio di funzione strettamente monotona ma non invertibile.

    In generale una funzione debolmente monotona su un insieme non è iniettiva

    A differenza della monotonia stretta, in generale la monotonia debole (funzioni monotone non crescenti e non decrescenti) non garantisce che la funzione sia iniettiva.

    Come controesempio possiamo prendere la funzione costante

    f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

    data da

    f(x)=5

    Essa è una funzione monotona non decrescente e non crescente, ma non è iniettiva: tutti gli elementi del dominio hanno la stessa immagine mediante f.

    La funzione f costituisce quindi un esempio di funzione debolmente monotona ma non invertibile, perché non è iniettiva... e a titolo di cronaca non è ovviamente nemmeno suriettiva.

    Risposta di Ifrit
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