Funzione monotona ma non iniettiva

La questione è delicata e presuppone di sapere quali sono i possibili tipi di monotonia di una funzione.

Finché parliamo di funzioni monotone in generale, bisogna tenere presente che una funzione può essere

- strettamente monotona le disequazioni delle definizioni non includono l'uguale. In altri termini la stretta monotonia si riferisce alle funzioni monotone crescenti e a quelle decrescenti;

- debolmente  le disequazioni delle definizioni includono l'uguale. La monotonia debole si riferisce alle funzioni monotone non decrescenti e a quelle non crescenti.

Esempi

La funzione

è monotona strettamente crescente, perché tali che risulta che

Se invece consideriamo la funzione

data da

essa è monotona non decrescente, perché tali che risulta che

Insomma la differenza è sottile, ma importante!

In generale una funzione monotona non è necessariamente iniettiva

Trovandosi di fronte ad una domanda come quella proposta bisogna necessariamente considerare la proprietà di "funzione monotona" nel modo più generale possibile, e quindi includere anche il caso di funzioni monotone debolmente.

In questo caso trovare un esempio di funzione monotona ma non iniettiva è facile: possiamo considerare la funzione indicata in precedenza, o anche

Quest'ultima funzione è sia monotona non decrescente che monotona decrescente, ma non è chiaramente iniettiva.

Dagli esempi si deduce in particolare che una funzione debolmente monotona non è in generale iniettiva.

Una funzione strettamente monotona è sempre iniettiva

Se invece la domanda fosse: "esistono funzioni strettamente monotone ma non iniettive?", la risposta sarebbe no.

Si può dimostrare facilmente mediante la definizione che una funzione strettamente monotona su un insieme qualsiasi è iniettiva.

Per dimostrarlo fissiamo le idee considerando una funzione monotona strettamente crescente su un insieme . La dimostrazione nel caso di una funzione strettamente decrescente è del tutto analoga.

Comunque si considerino nell'insieme per ipotesi risulta che . 

Se consideriamo con sono date due possibilità:

•  e per la stretta crescenza della funzione si ha che

•  e per la stretta crescenza della funzione si ha che

In entrambi i casi elementi diversi hanno immagini diverse e ciò assicura l'iniettività.

In sintesi una funzione strettamente crescente (o strettamente decrescente) su un insieme è necessariamente iniettiva.