Derivata del prodotto
Come si calcola la derivata del prodotto di due funzioni? Mi servirebbe la regola per calcolare la derivata del prodotto f(x)·g(x), scritta sia a parole che in formule, e se possibile vorrei vedere un esempio di applicazione.
Potreste anche proporre la dimostrazione della formula per la derivata di un prodotto, con tutti i passaggi commentati? Quella che c'è sul libro è un susseguirsi di formule, senza alcuna spiegazione, e non ho capito quasi nulla.
La derivata del prodotto si calcola come d/dx[f(x)g(x)]=f'(x)g(x)+f(x)g'(x), ossia la derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla derivata della prima funzione per la seconda funzione non derivata, più la prima funzione non derivata per la derivata della seconda funzione.
Formula per la derivata del prodotto
Più esplicitamente, se consideriamo due funzioni derivabili 
e 
, la derivata del prodotto 
è data da
![(d)/(dx)[f(x)·g(x)] = f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)](/images/joomlatex/0/5/05129c56c57c03d025f87a9030ad8ec3.gif)
La formula della derivata di un prodotto è anche conosciuta come regola di Leibniz.
Esempio di calcolo della derivata di un prodotto
A titolo di esempio calcoliamo la derivata della funzione
che possiamo pensare come prodotto tra le funzioni
Applichiamo la formula della derivata di un prodotto
![y'= (d)/(dx)[x^3]·sin(x)+x^3·(d)/(dx)[sin(x)]](/images/joomlatex/a/d/ad025046fba32c92ea6702673df9d215.gif)
e calcoliamo le due derivate a secondo membro.
La derivata di x^3 si calcola con la regola per la derivata di una potenza, ed è uguale a 3x2
![(d)/(dx)[x^3] = 3·x^(3−1) = 3x^2](/images/joomlatex/1/1/114f1db7581aef707f040004e561c3ab.gif)
La derivata di sen(x) è una derivata fondamentale, ed è uguale a cos(x)
![(d)/(dx)[sin(x)] = cos(x)](/images/joomlatex/e/b/ebd80ba5dcd66b1fd61af7ee3cd7e03f.gif)
In definitiva
![y'= (d)/(dx)[x^3]·sin(x)+x^3·(d)/(dx)[sin(x)] = 3x^2 sin(x)+x^3 cos(x)](/images/joomlatex/1/3/130e0c66f9b78bbf6ac316dc85ad7d3a.gif)
Dimostrazione della formula per la derivata di un prodotto
Siano 
e 
due funzioni derivabili in 
. Vogliamo dimostrare che la derivata della funzione prodotto 
è data dalla seguente formula
Procediamo! Il prodotto di due funzioni derivabili in è anch'esso derivabile in e, per definizione di derivata, la derivata di è uguale al limite per 
che tende a zero del rapporto incrementale di in .
Scriviamo allora il rapporto incrementale della funzione prodotto in
e calcoliamone il limite per che tende a zero.
![(d)/(dx)[f(x)·g(x)] = lim_(h → 0) (f(x+h)·g(x+h)−f(x)·g(x))/(h) =](/images/joomlatex/d/f/df98a32e91ce9ce76e9a19ff86d89c0e.gif)
Aggiungiamo e sottraiamo 
a numeratore
Raccogliamo a fattor comune 
nei primi due termini e negli ultimi due
![= lim_(h → 0) (f(x+h)[g(x+h)−g(x)]+g(x) [f(x+h)−f(x) ])/(h) =](/images/joomlatex/5/5/55859ae817e22f7259a365fa3267d9f5.gif)
Scriviamo la frazione nel limite come somma tra frazioni
![= lim_(h → 0) ((f(x+h)[g(x+h)−g(x)])/(h)+(g(x) [f(x+h)−f(x) ])/(h)) =](/images/joomlatex/2/8/28904b2557475ba01631dfad54f882c6.gif)
e spezziamo il limite nella somma di due limiti, in accordo con le regole sull'Algebra dei limiti
![= lim_(h → 0) (f(x+h)[g(x+h)−g(x)])/(h)+lim_(h → 0) (g(x) [f(x+h)−f(x) ])/(h) = (☆)](/images/joomlatex/5/5/55d0c96c1836d1faea128d94bf113208.gif)
A questo punto calcoliamo i due limiti separatamente; partiamo dal primo
![• lim_(h → 0) (f(x+h)[g(x+h)−g(x)])/(h) = lim_(h → 0) (f(x+h)·(g(x+h)−g(x))/(h)) =](/images/joomlatex/4/0/407735d701837f02fd9f4ab462999443.gif)
il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti
Il primo limite si calcola per sostituzione diretta, ed è uguale a . Il secondo è il limite per che tende a zero del rapporto incrementale di in , dunque è uguale a 
Passiamo ora al secondo limite
![• lim_(h → 0) (g(x) [f(x+h)−f(x) ])/(h) =](/images/joomlatex/6/a/6aa8556deb8f8c252b46972ffb1f0c55.gif)
portiamo fuori dal limite (possiamo farlo perché non dipende da )
Quello che rimane è il limite per che tende a zero del rapporto incrementale di in , ed è uguale a 
Sostituiamo nel limite iniziale, riprendendolo dal punto in cui ci siamo fermati
Riordiniamo opportunamente sfruttando la proprietà commutativa della moltiplicazione e quella dell'addizione, e otteniamo la formula della derivata del prodotto che volevamo dimostrare
Caso particolare: derivata del prodotto di una funzione per una costante
La derivata del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione. Se 
è una costante e se è una funzione derivabile, allora:
![(d)/(dx)[c·g(x)] = c·g'(x)](/images/joomlatex/b/0/b02a076b6976481716140f432cc94181.gif)
Questa formula può essere dimostrata con la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale oppure, molto più semplicemente, usando la formula per la derivata del prodotto di due funzioni. Vediamo come.
Siano 
una funzione costante e una funzione derivabile.
Per la formula della derivata di un prodotto
![(d)/(dx)[c·g(x)] = (d)/(dx)[c]·g(x)+c·g'(x) =](/images/joomlatex/1/9/197fa7156a255f16bd76fabc73179b46.gif)
la derivata di una costante è zero
***
È tutto, ma per concludere ti segnaliamo:
- la lezione di riepilogo sulle regole di derivazione;
- la scheda di esercizi sulla derivata del prodotto.