Soluzioni
  • La derivata del prodotto si calcola come d/dx[f(x)g(x)]=f'(x)g(x)+f(x)g'(x), ossia la derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla derivata della prima funzione per la seconda funzione non derivata, più la prima funzione non derivata per la derivata della seconda funzione.

    Formula per la derivata del prodotto

    Più esplicitamente, se consideriamo due funzioni derivabili f(x) e g(x), la derivata del prodotto f(x) \cdot g(x) è data da

    \frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)

    La formula della derivata di un prodotto è anche conosciuta come regola di Leibniz.

    Esempio di calcolo della derivata di un prodotto

    A titolo di esempio calcoliamo la derivata della funzione

    y=x^3\sin(x)

    che possiamo pensare come prodotto tra le funzioni

    f(x)=x^3 \ \ \ ; \ \ \ g(x)=\sin(x)

    Applichiamo la formula della derivata di un prodotto

    y'=\frac{d}{dx}[x^3] \cdot \sin(x) + x^3 \cdot \frac{d}{dx}[\sin(x)]

    e calcoliamo le due derivate a secondo membro.

    La derivata di x^3 si calcola con la regola per la derivata di una potenza, ed è uguale a 3x2

    \frac{d}{dx}[x^3]=3 \cdot x^{3-1} = 3x^2

    La derivata di sen(x) è una derivata fondamentale, ed è uguale a cos(x)

    \frac{d}{dx}[\sin(x)]=\cos(x)

    In definitiva

    \\ y'=\frac{d}{dx}[x^3] \cdot \sin(x) + x^3 \cdot \frac{d}{dx}[\sin(x)] = \\ \\ \\ = 3x^2 \sin(x) + x^3 \cos(x)

    Dimostrazione della formula per la derivata di un prodotto

    Siano f e g due funzioni derivabili in x. Vogliamo dimostrare che la derivata della funzione prodotto f \cdot g è data dalla seguente formula

    \frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)

    Procediamo! Il prodotto di due funzioni derivabili in x è anch'esso derivabile in x e, per definizione di derivata, la derivata di f(x) \cdot g(x) è uguale al limite per h che tende a zero del rapporto incrementale di f \cdot g in x.

    Scriviamo allora il rapporto incrementale della funzione prodotto in x

    \frac{f(x+h) \cdot g(x+h) - f(x) \cdot g(x)}{h}

    e calcoliamone il limite per h che tende a zero.

    \frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) \cdot g(x+h) - f(x) \cdot g(x)}{h}=

    Aggiungiamo e sottraiamo f(x+h) \cdot g(x) a numeratore

    = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) \cdot g(x+h) - f(x+h) \cdot g(x) + f(x+h) \cdot g(x) - f(x) \cdot g(x)}{h}=

    Raccogliamo a fattor comune f(x+h) nei primi due termini e g(x) negli ultimi due

    = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)\left[g(x+h) - g(x)\right] + g(x) \left[f(x+h) - f(x) \right]}{h}=

    Scriviamo la frazione nel limite come somma tra frazioni

    = \lim_{h \to 0} \left(\frac{f(x+h)\left[g(x+h) - g(x)\right]}{h} + \frac{g(x) \left[f(x+h) - f(x) \right]}{h}\right)=

    e spezziamo il limite nella somma di due limiti, in accordo con le regole sull'Algebra dei limiti

    = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)\left[g(x+h) - g(x)\right]}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{g(x) \left[f(x+h) - f(x) \right]}{h}= \ (\bigstar)

    A questo punto calcoliamo i due limiti separatamente; partiamo dal primo

    \\ \bullet \ \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)\left[g(x+h) - g(x)\right]}{h}= \\ \\ \\ = \lim_{h \to 0} \left(f(x+h) \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)=

    il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti

    = \lim_{h \to 0} f(x+h) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h}=

    Il primo limite si calcola per sostituzione diretta, ed è uguale a f(x). Il secondo è il limite per h che tende a zero del rapporto incrementale di g in x, dunque è uguale a g'(x)

    =f(x) \cdot g'(x)

    Passiamo ora al secondo limite

    \bullet \ \lim_{h \to 0} \frac{g(x) \left[f(x+h) - f(x) \right]}{h}=

    portiamo g(x) fuori dal limite (possiamo farlo perché non dipende da h)

    =g(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}=

    Quello che rimane è il limite per h che tende a zero del rapporto incrementale di f in x, ed è uguale a f'(x)

    =g(x) \cdot f'(x)

    Sostituiamo nel limite iniziale, riprendendolo dal punto in cui ci siamo fermati

    (\bigstar)=f(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot f'(x)

    Riordiniamo opportunamente sfruttando la proprietà commutativa della moltiplicazione e quella dell'addizione, e otteniamo la formula della derivata del prodotto che volevamo dimostrare

    \frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)

    Caso particolare: derivata del prodotto di una funzione per una costante

    La derivata del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione. Se c \in \mathbb{R} è una costante e se g(x) è una funzione derivabile, allora:

    \frac{d}{dx}[c \cdot g(x)] = c \cdot g'(x)

    Questa formula può essere dimostrata con la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale oppure, molto più semplicemente, usando la formula per la derivata del prodotto di due funzioni. Vediamo come.

    Siano f(x)=c una funzione costante e g(x) una funzione derivabile.

    Per la formula della derivata di un prodotto

    \frac{d}{dx}[c \cdot g(x)] = \frac{d}{dx}[c] \cdot g(x) + c \cdot g'(x)=

    la derivata di una costante è zero

    =0 \cdot g(x) + c \cdot g'(x) = c \cdot g'(x)

    ***

    È tutto, ma per concludere ti segnaliamo:

    - la lezione di riepilogo sulle regole di derivazione;

    - la scheda di esercizi sulla derivata del prodotto.

    Risposta di Galois
 
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