Soluzioni
  • Per avere un esempio di funzione iniettiva ma non monotona possiamo considerare la semplice funzione a tratti

    f: [0,2]\to \mathbb{R}

    definita da

    f(x)=\begin{cases}x^2&\mbox{ se }0\le x \le 1\\ 1-x&\mbox{ se }1<x\le 2 \end{cases}

    È importante tenere a mente sia il dominio della funzione

    D_f=[0,2]

    che il codominio

    \mbox{cod}(f)=\mathbb{R}

    perché il concetto di iniettività di una funzione dipende anche da essi. 

    Nel nostro caso possiamo verificare l'iniettività con il metodo grafico, dal momento che la funzione è facilmente rappresentabile.

    Notiamo infatti che:

    - in [0,1] il grafico della funzione coincide con una parte di ramo della parabola, e in essa è crescente;

    - in (1,2] invece la funzione ha per grafico un tratto di retta decrescente.

    Proprio per questo motivo la funzione non può essere monotona, dove con monotona si intende implicitamente sul proprio dominio.

    Abbiamo quindi individuato un esempio di funzione iniettiva che non è monotona. 

    ***

    Una piccola osservazione: in forza di un noto teorema, una funzione continua su un intervallo è iniettiva se e solo se è strettamente monotona.

    Non a caso per costruire l'esempio richiesto abbiamo dovuto considerare una funzione discontinua: la funzione proposta presenta infatti un punto di discontinuità di prima specie in x=1.

    Risposta di Ifrit
 
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