Insieme numerabile e potenza del numerabile

In breve, un insieme numerabile è un qualsiasi insieme equipotente all'insieme dei numeri naturali, ossia un qualsiasi insieme che può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme N.

Con linguaggio del tutto equivalente si dice che un insieme numerabile è un insieme con la potenza del numerabile.

Questa è la definizione nuda e cruda di insieme numerabile, ma per comprendere appieno la precedente frase dobbiamo analizzare l'aggettivo equipotente e capire qual è il suo significato. 

Due insiemi si dicono equipotenti se esiste almeno una corrispondenza biunivoca tra i due, cioè se è possibile individuare un'applicazione

tale da associare ad ogni elemento uno e uno solo elemento , e viceversa tale da far corrispondere ad ogni elemento uno e uno solo elemento .

Una qualsiasi corrispondenza di questo tipo prende il nome di corrispondenza biunivoca (o biezione) e in simboli scriveremo

Con queste premesse abbiamo tutti gli strumenti per riscrivere la definizione di insieme numerabile.

Alla luce di queste nuove informazioni un insieme si dice numerabile se e solo se esiste almeno una corrispondenza biunivoca tra l'insieme e l'insieme dei numeri naturali , ossia

Esempio: l'insieme dei numeri pari è un insieme numerabile

L'insieme dei numeri pari

è un insieme numerabile.

Per dimostrarlo basta individuare una qualsiasi biezione tra e , ad esempio:

che ad ogni elemento associa il suo doppio.

L'espressione analitica della legge è facile da determinare:

Come si vede facilmente tale corrispondenza soddisfa la definizione di corrispondenza biunivoca.

Esempio: l'insieme dei numeri dispari è un insieme numerabile

L'insieme dei numeri dispari

è un insieme numerabile.

In questo caso una possibile applicazione biunivoca tra l'insieme dei numeri naturali e l'insieme dei numeri dispari è:

Esempi: l'insieme dei numeri interi è numerabile

L'insieme Z dei numeri relativi è a sua volta un insieme numerabile, nonostante contenga l'insieme dei numeri naturali come sottoinsieme proprio.

Per mostrarlo è sufficiente considerare la biezione

definita nel modo seguente

Teorema fondamentale sul numerabile

Più in generale vale un teorema che permette di dimostrare brillantemente la numerabilità dell'insieme dei numeri interi, e non solo. Si tratta del primo teorema di Cantor, o teorema fondamentale sul numerabile, e stabilisce che l'unione di un numero finito o numerabile di insiemi numerabile è a sua volta un insieme numerabile.

Nota bene: non tutti gli insiemi sono numerabili

Esistono infatti insiemi che non possono essere messi in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali.

Ad esempio un qualsiasi insieme formato da un numero finito di elementi non è numerabile, è impossibile infatti costruire una applicazione biunivoca tra e un insieme finito.

Un ulteriore esempio di insieme non numerabile è l'insieme dei numeri reali, vale a dire l'insieme R.

Per tutti gli approfondimenti del caso ti rimando alla lettura della lezione sul concetto di potenza di un insieme. ;)