Cos x maggiore di 0

Per risolvere la disequazione goniometrica coseno di x maggiore di zero possiamo procedere in tre modi. Il primo e il terzo sono quelli più adatti a uno studente di terza superiore; il secondo è più idoneo per gli studenti di quarta-quinta superiore e universitari, che hanno già un po' di esperienza con le disequazioni trigonometriche.

Metodo della circonferenza goniometrica

Disegniamo la circonferenza goniometrica e ricordiamo che, quando parliamo del coseno, dobbiamo riferirci all'asse x.

Per definizione, il coseno di un angolo è l'ascissa della proiezione sull'asse x del punto di intersezione tra la circonferenza goniometrica e il secondo lato dell'angolo.

Poiché ci siamo proposti di risolvere la disequazione coseno di x maggiore di zero, dobbiamo considerare tutte le possibili proiezioni con ascissa positiva, vale a dire i punti del segmento in rosso.

Quali sono gli angoli corrispondenti? Tutti quelli che intercettano i punti della circonferenza goniometrica nel primo e nel quarto quadrante (in blu).

cos(x)>0 con la circonferenza goniometrica.

Non ci resta che scrivere sotto forma di intervalli la soluzione, partendo dallo zero e girando in senso antiorario:

Aggiungendo la periodicità del coseno:

Metodo grafico con funzione coseno

Per risolvere la disequazione cos(x)>0 possiamo anche disegnare il grafico della funzione coseno nell'intervallo

e considerare la parte del grafico al di sopra della retta (nel rettangolo grigio).

Le soluzioni sono quindi le ascisse dei punti del grafico con ordinate

cos(x)>0 con il metodo grafico.

Metodo basato sulla definizione di coseno

A ben vedere questo metodo per la risoluzione della disequazione cos(x)>0 non è altro che un'interpretazione alternativa del primo metodo.

Sappiamo che il coseno di un angolo nel secondo e nel terzo quadrante assume valori negativi (quindi li possiamo escludere poiché siamo alla ricerca dei valori per cui il coseno è maggiore di 0).

Il coseno vale zero per e per , ed è maggiore di zero nel primo e nel terzo quadrante, ossia per

Tutto questo vale se stiamo lavorando nell'intervallo . In generale dobbiamo estendere le soluzioni con periodicità:

***

Per concludere osserviamo che, lavorando nell'intervallo , possiamo scrivere le soluzioni di coseno di x maggiore di zero come: