Soluzioni
  • Per risolvere la disequazione goniometrica coseno di x maggiore di zero possiamo procedere in tre modi. Il primo e il terzo sono quelli più adatti a uno studente di terza superiore; il secondo è più idoneo per gli studenti di quarta-quinta superiore e universitari, che hanno già un po' di esperienza con le disequazioni trigonometriche.

    Metodo della circonferenza goniometrica

    Disegniamo la circonferenza goniometrica e ricordiamo che, quando parliamo del coseno, dobbiamo riferirci all'asse x.

    Per definizione, il coseno di un angolo è l'ascissa della proiezione sull'asse x del punto di intersezione tra la circonferenza goniometrica e il secondo lato dell'angolo.

    Poiché ci siamo proposti di risolvere la disequazione coseno di x maggiore di zero, dobbiamo considerare tutte le possibili proiezioni con ascissa positiva, vale a dire i punti del segmento in rosso.

    Quali sono gli angoli corrispondenti? Tutti quelli che intercettano i punti della circonferenza goniometrica nel primo e nel quarto quadrante (in blu).

     

    Coseno di x maggiore di zero

    cos(x)>0 con la circonferenza goniometrica.

     

    Non ci resta che scrivere sotto forma di intervalli la soluzione, partendo dallo zero e girando in senso antiorario:

    0<x<\frac{\pi}{2} \ \vee \ \frac{3}{2} \pi < x < 2 \pi

    Aggiungendo la periodicità del coseno:

    2k \pi<x<\frac{\pi}{2}+2k \pi \ \vee \ \frac{3}{2} \pi + 2k \pi < x < 2 \pi + 2k \pi, \ k \in \mathbb{Z}

    Metodo grafico con funzione coseno

    Per risolvere la disequazione cos(x)>0 possiamo anche disegnare il grafico della funzione coseno nell'intervallo [0, 2 \pi]

    y=\cos(x)\ \ \ \mbox{con }x\in [0,2\pi]

    e considerare la parte del grafico al di sopra della retta y=0 (nel rettangolo grigio).

    Le soluzioni sono quindi le ascisse dei punti del grafico con ordinate y>0

     

    Coseno di x maggiore di 0 con il metodo grafico

    cos(x)>0 con il metodo grafico.

     

    Metodo basato sulla definizione di coseno

    A ben vedere questo metodo per la risoluzione della disequazione cos(x)>0 non è altro che un'interpretazione alternativa del primo metodo.

    Sappiamo che il coseno di un angolo nel secondo e nel terzo quadrante assume valori negativi (quindi li possiamo escludere poiché siamo alla ricerca dei valori per cui il coseno è maggiore di 0).

    Il coseno vale zero per x=\frac{\pi}{2} e per x=\frac{3}{2} \pi, ed è maggiore di zero nel primo e nel terzo quadrante, ossia per

    0<x<\frac{\pi}{2} \ \vee \ \frac{3}{2}\pi < x < 2 \pi

    Tutto questo vale se stiamo lavorando nell'intervallo [0, \ 2 \pi]. In generale dobbiamo estendere le soluzioni con periodicità:

    2k \pi<x<\frac{\pi}{2}+2k \pi \ \vee \ \frac{3}{2} \pi + 2k \pi < x < 2 \pi + 2k \pi, \ k \in \mathbb{Z}

    ***

    Per concludere osserviamo che, lavorando nell'intervallo [-\pi, \pi], possiamo scrivere le soluzioni di coseno di x maggiore di zero come:

    -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}

    Risposta di Galois
 
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