Soluzioni
  • Ciao :)

    Per risolvere la disequazione goniometrica coseno di x maggiore di zero possiamo procedere in ben tre modi. Il primo che vedremo è quello più adatto ad un ragazzo di terza liceo, i successivi per ragazzi un po' più grandicelli o universitari che hanno già un po' di esperienza con questo genere di esercizi.

     

    1° Metodo: ricorriamo alla circonferenza goniometrica

     

    Disegnamo la circonferenza goniometrica e ricordando che, quando parliamo del coseno dobbiamo riferirci all'asse x, prendiamo il punto zero (l'origine degli assi) e poiché ci siamo proposti di risolvere coseno di x maggiore di zero, ci sposteremo verso destra, fino alla fine della circonferenza goniometrica (segmento rosso in figura). Fatto questo, proiettiamo tale segmento sulla circonferenza ottenendo la parte colorata di blu. Finito!

     

    coseno-di-x-maggiore-di-zero

     

    Non ci rimane altro se non scrivere sotto forma di intervalli la soluzione partendo dallo zero e girando in senso antiorario:

     

    0<x<\frac{\pi}{2} \ \vee \ \frac{3}{2} \pi < x < 2 \pi

     

    Aggiungendo la periodicità:

     

    2k \pi<x<\frac{\pi}{2}+2k \pi \ \vee \ \frac{3}{2} \pi + 2k \pi < x < 2 \pi + 2k \pi, \ k \in \mathbb{Z}

     

    2° Metodo: facciamo ricorso al grafico della funzione coseno

     

    Ci basta disegnare il grafico della funzione coseno nell'intervallo [0, 2 \pi] e considerare la parte del grafico al di sopra della retta y=0 (nel rettangolo rosso). Fine!

     

    coseno-di-x-maggiore-di-zero-con-grafico

     

    3° Metodo: facciamo riferimento alla definizione della funzione coseno.

    Sappiamo che la funzione coseno nel secondo e nel terzo quadrante assume valori negativi (quindi li possiamo escludere poiché siamo alla ricerca dei valori per cui il coseno è maggiore di 0).

     

    Vale zero per x=\frac{\pi}{2} e per x=\frac{3}{2} \pi ed è maggiore di zero nel primo e nel terzo quadrante, ovvero per 0<x<\frac{\pi}{2} \ \vee \ \frac{3}{2}\pi < x < 2 \pi

    Tutto questo, capiamoci bene, se stiamo lavorando nell'intervallo [0, \ 2 \pi]. Abbandonando tale intervallo, come già detto, dobbiamo estendere le soluzioni con periodicità:

     

    2k \pi<x<\frac{\pi}{2}+2k \pi \ \vee \ \frac{3}{2} \pi + 2k \pi < x < 2 \pi + 2k \pi, \ k \in \mathbb{Z}

     

    Chiudo, facendovi osservare che lavorendo nell'intervallo [-\pi, \pi] possiamo scrivere le soluzioni di coseno di x maggiore di zero come: -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}

    Risposta di Galois
 
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