Soluzioni
  • La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a un angolo piatto, ossia a 180°, e si può esprimere in radianti come \pi.

    Somma angoli interni triangolo = 180°

    Il valore della somma degli angoli interni di un triangolo non dipende dal tipo di triangolo. Che sia un triangolo isoscele, un triangolo equilatero, un triangolo scaleno o un triangolo rettangolo non fa differenza: la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180°.

    Teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo

    A garantire che la somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi è 180° ci pensa un famoso teorema di Geometria Euclidea, il quale afferma proprio che:

    in ogni triangolo la somma degli angoli interni è uguale a un angolo piatto.

    Dimostrazione

    La dimostrazione del teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo è molto semplice e si basa sul teorema delle rette parallele tagliate da una trasversale.

    Disegniamo un triangolo qualsiasi, indichiamo con A, \ B, \ C i suoi vertici e con \alpha, \ \beta, \ \gamma i suoi tre angoli interni.

    Dobbiamo dimostrare che la somma dei tre angoli interni è un angolo piatto, ossia che

    \alpha + \beta + \gamma = 1 \mbox{ angolo piatto}

    Per uno qualsiasi dei vertici, ad esempio per B, conduciamo la retta r parallela al lato opposto AC. Tale retta è unica in virtù del V postulato di Euclide.

    Chiamiamo \delta \mbox{ e } \omega gli angoli convessi che la retta r forma con i due lati AB \mbox{ e } BC del triangolo.

     

    Somma angoli interni triangolo

     

    Osserviamo che

    (*) \ \delta + \beta + \omega = 180^{\circ}

    Inoltre:

    - \delta = \alpha, essendo \delta \mbox{ e } \alpha due angoli alterni interni tra le rette parallele r \mbox{ e } AC tagliate dalla trasversale AB;

    - \omega = \gamma, in quanto \omega \mbox{ e } \gamma sono due angoli alterni interni tra le rette parallele r \mbox{ e } AC tagliate dalla trasversale BC.

    Poiché \delta \mbox{ e } \alpha così come \omega \mbox{ e } \gamma sono angoli congruenti, sostituendo \delta \mbox{ con } \alpha e \omega \mbox{ con } \gamma nella relazione (*) si ottiene

    \alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}

    che è proprio quello che ci eravamo proposti di dimostrare.

    Somma degli angoli interni di un triangolo con la formula

    Per ricavare il valore della somma degli angoli interni di un triangolo si può fare riferimento alla formula per la somma degli angoli interni di un poligono:

    Somma angoli interni di un poligono = (180° · N) - 360°

    dove N indica il numero dei lati del poligono.

    Un triangolo ha 3 lati, quindi sostituendo N con 3 si ottiene

    Somma angoli interni di un triangolo = (180 · 3) - 360° = 540° - 360° = 180°

    ***

    Per sapere quanto vale la somma degli angoli esterni di un triangolo potete consultare la pagina del link, se invece vi occorre un formulario completo sul triangolo - click!

    Risposta di Galois
 
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