Soluzioni
  • La risposta alla tua domanda è sì: in generale esistono funzioni invertibili che non sono monotone. Se però introduciamo l'ipotesi aggiuntiva di continuità su un intervallo, allora possiamo affermare che non esistono funzioni continue in un intervallo che siano invertibili ma non monotone.

    Procediamo con ordine e vediamo qualche esempio.

    Esempio di funzione invertibile ma non monotona in un intervallo

    La funzione

    f:[0, 2]\to [-1,1]

    definita dalla legge

    f(x)=\begin{cases}x\ \ \ \ \ \ \ \mbox{ se }0\le x\le 1\\ 1-x\ \ \ \mbox{ se }1<x\le 2\end{cases}

    è iniettiva e suriettiva, dunque è una funzione invertibile.

    Possiamo verificare facilmente l'iniettività e la suriettività della funzione tramite il metodo grafico, in questo caso non è affatto difficile disegnarla.

    Per capire che la funzione considerata non è monotona basta considerare la definizione su opportune coppie di punti appartenenti al suo dominio, o ancor più velocemente osservare che:

    - la funzione non è monotona crescente, né monotona non decrescente, perché per x\in (1,2] coincide la funzione lineare affine g(x)=1-x, che è decrescente;

    - la funzione non è nemmeno monotona decrescente, né monotona non crescente, perché per x\in [0,1] coincide la funzione identità h(x)=x, che è crescente.

    A titolo di cronaca notiamo che la funzione dell'esempio è discontinua in x=1.

    Esempio di funzione continua in un insieme, invertibile ma non monotona

    Un esempio è dato dalla funzione

    f: [0,1]\cup [2, 3]\to [-2,-1]\cup [0, 1]

    definita da

    f(x)= \begin{cases}x&\mbox{ se }x\in [0,1]\\ 1-x&\mbox{ se }x\in [2,3]\end{cases}

    Essa è una funzione continua nel dominio, è invertibile perché iniettiva e suriettiva, ma non è monotona.

    In questo caso notiamo che l'insieme considerato non è un intervallo.

    Esistono funzioni continue in un intervallo che sono invertibili ma non monotone?

    La risposta a questa domanda è no.

    Esiste infatti un teorema che stabilisce che una funzione continua in un intervallo è iniettiva se e solo se è strettamente monotona.

    Dunque, se consideriamo una funzione continua su un intervallo, e se supponiamo che essa sia invertibile, allora tale funzione è necessariamente suriettiva e iniettiva. Essendo iniettiva, definita su un intervallo e continua sull'intervallo, in forza del precedente teorema dovrà essere strettamente monotona.

    Attenzione a non omettere alcuna delle ipotesi riportate nell'enunciato del teorema, come puoi notare gli esempi precedenti evidenziano che sono tutte ugualmente importanti.

    ***

    Se vuoi fare un ripasso sulla monotonia di una funzione - click!

    Risposta di Galois
 
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