Soluzioni
  • Ciao :)

    In generale il concetto di differenziabilità e derivabilità sono differenti, soprattutto quando abbiamo a che fare con funzioni di più variabili. Per le funzioni di una variabile reale la differenziabilità equivale alla derivabilità,  vale il teorema:

    Una funzione definita su [a,b] e a valori in \mathbb{R} è differenziabile in x_0\in (a,b) se e solo se è derivabile in x_0. Ecco  la dimostrazione del teorema sulla equivalenza tra differenziabilità e derivabilità.

    Ricordiamo inoltre che con il simbolo C^{1}[a,b] si intende l'insieme delle funzioni derivabili con derivata continua in [a,b].

    Ottimo! Abbiamo gettato le basi, attenzione ora le cose si complicano un po'. Il nostro obiettivo è cercare una funzione derivabile in un intervallo la cui derivata non è continua! Possiamo considerare:

    f(x)= \begin{cases}x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)&\mbox{ se }x\in [-1,0)\cup (0,1]\\ 0&\mbox{ se }x=0\end{cases}

    La funzione che andremo ad analizzare è continua in [-1,1], è derivabile in [-1, 0)\cup (0, 1] perché composizione di funzioni derivabili, l'unico punto in cui abbiamo incertezza è il punto di raccordo x=0. Per sciogliere ogni dubbio procederemo con la definizione di derivata, interverrano il limite destro e il limite sinistro del rapporto incrementale centrato in x_0=0

    f_{+}'(0)= \lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}= \lim_{h\to 0^{+}}\frac{h^2\sin\left(\frac{1}{h}\right)}{h}=

    =\lim_{h\to 0^{+}}h\sin\left(\frac{1}{h}\right)=0

    Questo limite è zero e per mostrarlo puoi utilizzare il teorema dei carabinieri.

    Tramite gli stessi passaggi si dimostra che:

    f_{-}'(0)= 0

    Poiché il limite destro e il limite sinistro del rapporto incrementale coincidono allora la funzione è derivabile. Per x\ne 0 possiamo utilizzare le tecniche di derivazione per funzioni composte

    f'(x)=2x\sin\left(\frac{1}{x}\right)-\cos\left(\frac{1}{x}\right)\mbox{ per }x\ne 0

    In definitiva la derivata prima della funzione è:

    f'(x)=\begin{cases}-2x\sin\left(\frac{1}{x}\right)-\cos\left(\frac{1}{x}\right)&\mbox{ se }x\ne 0\\ 0&\mbox{ se }x=0\end{cases}

    Questa funzione è continua? In effetti no, non è continua in 0. Il limite destro e il limite sinistro di questa funzione non esistono, questo perché cos(1/x) comincia ad oscillare vorticosamente tra -1 e 1, pertanto la derivata prima presenta una discontinuità di seconda specie (alcuni professori universitari la chiamano discontinuità essenziale).

    Abbiamo raggiunto il nostro obiettivo! Abbiamo determinato una funzione differenziabile in un intervallo ma che non ha derivata continua in esso.

    Ti invito ad approfondire leggendo la lezioni sulla derivabilità di una funzione e quella sui punti di discontinuità, non te ne pentirai. :)

    Risposta di Ifrit
 
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