Soluzioni
  • Un esempio di funzione iniettiva ma non suriettiva è la funzione:

    f:\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}\to \mathbb{R}

    definita dalla legge:

    f(x)= \frac{1}{x}

    Per questo esempio è bene tenere a mente il dominio della funzione, ovvero \mbox{dom}_{f}= \mathbb{R}\setminus\left\{0\right\} e il codominio\mbox{cod}(f)= \mathbb{R}.

    In generale l'iniettività e la suriettività di una funzione dipendono proprio da essi!

    Perché la funzione proposta è iniettiva?

    Per la definizione di iniettività utilizzeremo la definizione:

    La funzione f è iniettiva se e solo se per ogni x,y\in \mbox{dom}(f) tali che \frac{1}{x}= \frac{1}{y} risulta che x= y.

    Dobbiamo quindi impostare l'equazione:

    \frac{1}{x}= \frac{1}{y}

    Portiamo al primo membro stando attenti ai segni:

    \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=0

    Minimo comune multiplo tra i monomi x ed y è x y, potremo scrivere

    \frac{y-x}{x y}=0

    Per x y\ne 0 la precedente equazione è equivalente a

    y-x= 0 e dunque x= y

    La definizione di funzione iniettiva è soddisfatta.

    Perché la funzione non è suriettiva?

    Non è suriettiva perché esiste un y\in \mbox{cod}(f) che non è immagine di nessun elemento del dominio. In matematichese:

    \exists y\in\mbox{cod}(f)\mbox{ t.c.}\,\, \forall x\in\mathbb{R}\,\, f(x)\ne 0

    La funzione proposta non  è suriettiva perché non esiste alcun valore del dominio che ha per immagine lo zero, infatti:

    \frac{1}{x}= 0

    non ha soluzioni.

    Questo esempio mostra come i concetti di iniettività e suriettività sono scolegate tra loro.

    Per approfondire leggi le lezioni sulla iniettività  e suriettività di una funzione.

    Risposta di Ifrit
 
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