Soluzioni
  • Le potenze con esponente negativo, dette anche potenze negative, sono potenze che possono essere riscritte eliminando il segno meno all'esponente e passando al reciproco della base. In altri termini il segno meno di una potenza ad esponente negativo ha l'effetto di invertire la base, ad esempio 5-1=1/5; 4-2=1/16.

    A parole il significato di una potenza con esponente negativo può sembrare difficile, in realtà il discorso è semplicissimo. Se ad esempio avessimo una potenza che ha come esponente negativo -1

    a^{-1}=\frac{1}{a}

    Il discorso ovviamente vale anche nel caso in cui la base della potenza sia una frazione.

    \left(\frac{1}{a}\right)^{-1}=a

    In generale basta ricordare la semplice regola per il reciproco di una frazione

    \left(\frac{a}{b}\right)^{-1}=\frac{b}{a}

    Dopo aver capito l'effetto del segno meno all'esponente, la regola da applicare diventa semplicissima: quando ci troviamo di fronte a una potenza con esponente negativo prima di tutto eliminiamo il segno meno

    \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n}

    e poi calcoliamo la potenza normalmente.

    Com'è facilmente intuibile, la regola delle potenze ad esponente negativo è estremamente ricorrente negli esercizi, per cui è opportuno impararla il prima possibile.

    Esempi di potenze con esponente negativo

    \\ 2^{-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^1=\frac{1}{2}\\ \\ \\ 5^{-3}=\left(\frac{1}{5}\right)^3=\frac{1^3}{5^3}=\frac{1}{125}

    La regola continua a valere indipendentemente che la base sia un numero naturale, un numero relativo, un numero razionale o ancora un numero irrazionale.

    Naturalmente nel caso delle potenze di frazioni con esponente negativo l'effetto del segno meno impone di passare alla frazione reciproca, e dunque di scambiare numeratore e denominatore.

    Ecco altri esempi, nell'ordine:

    Potenze con esponente negativo

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    Risposta di Omega
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