Soluzioni
  • Facciamo riferimento alla guida sullo studio di funzione, e procediamo passo passo nello studio di y=xlogx.

    DOMINIO

    L'unica condizione da imporre riguarda il logaritmo, il cui argomento deve essere strettamente maggiore di zero: x>0.

    Dom(f)=(0,+\infty)

    PARITA' e DISPARITA'

    Stando a com'è fatto il dominio, non ha senso studiare le eventuali simmetrie della funzione.

    SEGNO DELLA FUNZIONE

    Dobbiamo risolvere la disequazione f(x)\geq 0

    x\log{(x)}\geq 0

    per farlo studiamo separatamente il segno dei due fattori:

    - primo fattore: x\geq 0

    - secondo fattore: \log{(x)}\geq 0\ \to\ x\geq 1

    Non dimentichiamoci che dobbiamo lavorare solo ed esclusivamente nel dominio. Tracciando il grafico dei segni si vede che f(x) è negativa per 0<x<1, positiva per x>1 e nulla in x=1.

    INTERSEZIONI CON GLI ASSI

    Non ha senso cercare l'eventuale intersezione con l'asse delle y perché f(x) non è definita in x=0.

    L'unica intersezione con l'asse delle x l'abbiamo già determinata studiando il segno, ed è

    x=1,y=0\ \to (1,0)

    LIMITI AGLI ESTREMI

    Dobbiamo calcolare solamente i limiti per x\to 0^+ e per x\to +\infty:

    Prima quello più semplice

    \lim_{x\to +\infty}x\log{(x)}=+\infty

    che si calcola immediatamente grazie all'algebra di infiniti e infinitesimi.

    Passiamo all'altro

    \lim_{x\to 0^+}x\log{(x)}=

    riscriviamo la funzione come un rapporto, con un piccolo trucchetto algebrico

    =\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\log{(x)}}{\frac{1}{x}}=

    e applichiamo il teorema di de l'Hopital

    =\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to 0^{+}}\left[-\frac{x^2}{x}\right]=\lim_{x\to 0^{+}}[-x]=0

    Benone: di sicuro non abbiamo asintoti orizzontaliasintoti verticali. L'unico dubbio potrebbe riguardare l'esistenza di un asintoto obliquo per x\to +\infty. Vediamo se esiste calcolando

    m=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{x\log{(x)}}{x}=+\infty

    no, non esiste. :)

    STUDIO DELLA DERIVATA PRIMA

    Calcoliamo la derivata della funzione. Per farlo dobbiamo applicare la regola di derivazione del prodotto di due funzioni

    f'(x)=\frac{d}{dx}[x]\cdot \log{(x)}+x\cdot \frac{d}{dx}[\log{(x)}]=

    ci troviamo di fronte a semplici derivate fondamentali

    =1\cdot \log{(x)}+x\cdot \frac{1}{x}=\log{(x)}+1

    Studiamone gli zeri risolvendo l'equazione f'(x)=0

    \log{(x)}+1=0\ \to\ \log{(x)}=-1\ \to\ x=e^{-1}=\frac{1}{e}

    Studiamo il segno della derivata prima. Risolviamo la disequazione f'(x)\geq 0

    \log{(x)}+1\geq 0\ \to\ \log{(x)}\geq -1\ \to\ x\geq \frac{1}{e}

    dunque la derivata prima è positiva per x>1/e e negativa su 0<x<1/e. Di conseguenza la funzione f(x) è decrescente su 0<x<1/e e crescente su x>1/e.

    Ne deduciamo che x=1/e è un punto di minimo per f(x), in cui essa vale

    f\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}\log{\left(\frac{1}{e}\right)}=-\frac{1}{e}.

    DERIVATA SECONDA E PUNTI DI FLESSO

    Si procede come indicato nella guida del link.

    GRAFICO DI XLOGX

    Puoi disegnare il grafico della funzione online, ti basta riportare "xlogx".

    Namasté!

    Risposta di Omega
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