Soluzioni
  • Ciao, innanzitutto parto dalla formule per calcolare l'integrale di x^n, dopodiché passo ai commenti. Per essere il più generale possibile intenderò con n un parametro reale qualsiasi e non solamente un numero intero.

    ∫x^ndx = (x^(n+1))/(n+1)+c se n ≠-1 ; log(|x|)+c se n = -1

    dove +c è una qualsiasi costante arbitraria che permette di individuare tutte le possibili primitive della funzione integranda.

     

    Perché, se n ≠-1, la primitiva di x^(n) ha quella forma?

    Per scoprirlo basta ragionare al contrario e derivare una potenza del tipo f(x) = x^s: grazie ad una ben nota formula di derivazione

    (d)/(dx) x^s = sx^(s-1)

    da cui vediamo che derivando si perde un grado di potenza e si guadagna un coefficiente. Ragionando inversamente

    (d)/(dx) x^(s+1) = (s+1)x^(s)

    possiamo quindi portare a sinistra il coefficiente (s+1). Dobbiamo solo trattare la precedente uguaglianza come un'equazione e dividere entrambi i membri per (s+1): ciò è lecito solamente se s+1 ≠ 0, ossia s ≠-1

    (1)/(s+1)(d)/(dx) x^(s+1) = x^(s)

    Infine grazie ad una nota regola per il calcolo delle derivate, essendo 1/(s+1) una costante

    (1)/(s+1)(d)/(dx) x^(s+1) = (d)/(dx) [(1)/(s+1)x^(s+1)]

    e quindi

    (d)/(dx) [(1)/(s+1)x^(s+1)] = x^s

     

    Nel caso s = -1 ricostruire le primitive della funzione x^(-1) = 1/x è immediato. Basta ricordare la derivata fondamentale

    (d)/(dx) log(x) = (1)/(x)

    il valore assoluto è richiesto per avere tutte le primitive "possibili e immaginabili".

    (d)/(dx) log(|x|) = (1)/(|x|)·(|x|)/(x) = (1)/(x)

     

    Vediamo qualche esempio:

     

    PRIMO: ∫xdx = (x^(1+1))/(1+1)+c = (1)/(2)x^2+c

     

    SECONDO: ∫(1)/(x^5)dx = ∫x^(-5)dx = (x^(-5+1))/(-5+1)+c = -(1)/(4)x^(-4)+c = -(1)/(4x^4)+c

     

    (se il primo passaggio dovesse sembrare strano, consiglio di dare un rapido sguardo alla lezione sulle potenze)

     

    TERZO: ∫(1)/([7]√(x^2))dx = ∫x^(-(2)/(7))dx = (x^(-(2)/(7)+1))/(-(2)/(7)+1)+c = (1)/((5)/(7))x^((5)/(7))+c = (7)/(5)[7]√(x^5)+c

     

    QUARTO: ∫(1)/(x)dx = ∫x^(-1)dx = log(|x|)+c

     

    Ti suggerisco di dare uno sguardo alla tabella degli integrali notevoli - click!

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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