Soluzioni
  • Ciao, innanzitutto parto dalla formule per calcolare l'integrale di x^n, dopodiché passo ai commenti. Per essere il più generale possibile intenderò con n un parametro reale qualsiasi e non solamente un numero intero.

    \int{x^ndx}=\begin{cases}\frac{x^{n+1}}{n+1}+c\mbox{ se }n\neq -1\\ \log{|x|}+c\mbox{ se }n=-1\end{cases}

    dove +c è una qualsiasi costante arbitraria che permette di individuare tutte le possibili primitive della funzione integranda.

     

    Perché, se n\neq -1, la primitiva di x^{n} ha quella forma?

    Per scoprirlo basta ragionare al contrario e derivare una potenza del tipo f(x)=x^s: grazie ad una ben nota formula di derivazione

    \frac{d}{dx}\ x^s=sx^{s-1}

    da cui vediamo che derivando si perde un grado di potenza e si guadagna un coefficiente. Ragionando inversamente

    \frac{d}{dx}\ x^{s+1}=(s+1)x^{s}

    possiamo quindi portare a sinistra il coefficiente (s+1). Dobbiamo solo trattare la precedente uguaglianza come un'equazione e dividere entrambi i membri per (s+1): ciò è lecito solamente se s+1\neq 0, ossia s\neq -1

    \frac{1}{s+1}\frac{d}{dx}\ x^{s+1}=x^{s}

    Infine grazie ad una nota regola per il calcolo delle derivate, essendo 1/(s+1) una costante

    \frac{1}{s+1}\frac{d}{dx}\ x^{s+1}=\frac{d}{dx}\ \left[\frac{1}{s+1}x^{s+1}\right]

    e quindi

    \frac{d}{dx}\ \left[\frac{1}{s+1}x^{s+1}\right]=x^s

     

    Nel caso s=-1 ricostruire le primitive della funzione x^{-1}=1/x è immediato. Basta ricordare la derivata fondamentale

    \frac{d}{dx}\ \log{(x)}=\frac{1}{x}

    il valore assoluto è richiesto per avere tutte le primitive "possibili e immaginabili".

    \frac{d}{dx}\ \log{|x|}=\frac{1}{|x|}\cdot \frac{|x|}{x}=\frac{1}{x}

     

    Vediamo qualche esempio:

     

    PRIMO: \int{xdx}=\frac{x^{1+1}}{1+1}+c=\frac{1}{2}x^2+c

     

    SECONDO: \int{\frac{1}{x^5}dx}=\int{x^{-5}dx}=\frac{x^{-5+1}}{-5+1}+c=-\frac{1}{4}x^{-4}+c=-\frac{1}{4x^4}+c

     

    (se il primo passaggio dovesse sembrare strano, consiglio di dare un rapido sguardo alla lezione sulle potenze)

     

    TERZO: \int{\frac{1}{\sqrt[7]{x^2}}dx}=\int{x^{-\frac{2}{7}}dx}=\frac{x^{-\frac{2}{7}+1}}{-\frac{2}{7}+1}+c=\frac{1}{\frac{5}{7}}x^{\frac{5}{7}}+c=\frac{7}{5}\sqrt[7]{x^5}+c

     

    QUARTO: \int{\frac{1}{x}dx}=\int{x^{-1}dx}=\log{|x|}+c

     

    Ti suggerisco di dare uno sguardo alla tabella degli integrali notevoli - click!

    Namasté!

    Risposta di Omega
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