Ciao, innanzitutto parto dalla formule per calcolare l'integrale di x^n, dopodiché passo ai commenti. Per essere il più generale possibile intenderò con
un parametro reale qualsiasi e non solamente un numero intero.
dove
è una qualsiasi costante arbitraria che permette di individuare tutte le possibili primitive della funzione integranda.
Perché, se
, la primitiva di
ha quella forma?
Per scoprirlo basta ragionare al contrario e derivare una potenza del tipo
: grazie ad una ben nota formula di derivazione
da cui vediamo che derivando si perde un grado di potenza e si guadagna un coefficiente. Ragionando inversamente
possiamo quindi portare a sinistra il coefficiente
. Dobbiamo solo trattare la precedente uguaglianza come un'equazione e dividere entrambi i membri per
: ciò è lecito solamente se
, ossia
Infine grazie ad una nota regola per il calcolo delle derivate, essendo
una costante
e quindi
Nel caso
ricostruire le primitive della funzione
è immediato. Basta ricordare la derivata fondamentale
il valore assoluto è richiesto per avere tutte le primitive "possibili e immaginabili".
Vediamo qualche esempio:
PRIMO:
SECONDO:
(se il primo passaggio dovesse sembrare strano, consiglio di dare un rapido sguardo alla lezione sulle potenze)
TERZO:
QUARTO:
Ti suggerisco di dare uno sguardo alla tabella degli integrali notevoli - click!
Namasté!
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