Soluzioni
  • Con area del cono si intende l'area della superficie totale del cono e si calcola sommando l'area del cerchio di base all'area della superficie laterale.

     

    Area cono

    Area cono = Slat + Sb

     

    Formule per l'area del cono

    Le formule con cui si calcola l'area del cono sono quelle elencate nella seguente tabella, dove oltre alle formule per il calcolo dell'area della superficie totale S_{tot} abbiamo riportato anche le formule dell'area di base S_b e dell'area della superficie laterale S_{lat}.

    Abbiamo indicato con r il raggio di base, con \pi la costante Pi Greco, con h l'altezza del cono, con a l'apotema e con V il volume.

     

    Area superficie totale cono con area di base e area della superficie laterale

    S_{tot}=S_{lat}+S_{b}

    Area superficie totale cono con raggio e apotema

    S_{tot}=\pi r(r + a)

    Area di base con area della superficie totale e area della superficie laterale

    S_{b}=S_{tot}-S_{lat}

    Area di base con volume e altezza

    S_{b}=\frac{3V}{h}

    Area di base con il raggio

    S_{b}=\pi r^2

    Area della superficie laterale con area della superficie totale e area di base

    S_{lat}=S_{tot}-S_{b}

    Area della superficie laterale con raggio e apotema

    S_{lat}=\pi r a

     

    Per tutte le formule del cono, incluse le formule inverse dell'area, potete dare un'occhiata al formulario del link.

    Esercizi svolti sull'area del cono

    Qui di seguito abbiamo passato in rassegna le varie formule, spiegando da dove derivano e mostrando un esempio di applicazione. In tal modo dovrebbe essere più facile memorizzarle. ;)

    Calcolo area superficie di base cono

    La base di un cono è un cerchio, la cui area si può ottenere:

    - come differenza tra l'area della superficie totale e l'area della superficie laterale

    S_b = S_{tot}-S_{lat}

    - dividendo il triplo del volume del cono per la misura dell'altezza

    S_b=\frac{3V}{h}

    - usando la formula per il calcolo dell'area del cerchio, che prevede di moltiplicare la costante Pi Greco per il quadrato del raggio

    S_{b}=\pi r^2

    La scelta della formula da usare dipende dai dati forniti dal testo del problema.

    Esempio

    Il volume di un cono è di 12,5 metri cubi e la sua altezza misura 2,5 metri. Calcolare l'area di base.

    Svolgimento:

    S_{b}=\frac{3V}{h}=\frac{3 \cdot (12,5 \mbox{ m}^3)}{2,5 \mbox{ m}} = 15 \mbox{ m}^2

    Calcolo area superficie laterale cono

    Per calcolare l'area della superficie laterale di un cono si può procedere in due modi:

    - sottrarre l'area di base dall'area della superficie totale

    S_{lat} = S_{tot} - S_{b}

    - Moltiplicare la costante Pi Greco per il prodotto tra le misure di raggio e apotema

    S_{lat}=\pi r a

    Esempio

    Il perimetro del cerchio alla base di un cono misura 31,4 cm. Calcolare l'area della superficie laterale sapendo che l'altezza del cono è di 12 cm.

    Svolgimento: ricaviao la misura del raggio di base invertendo la formula del perimetro del cerchio

    \\ 2p = 2 \pi r \\ \\ r=\frac{2p}{2 \pi} \simeq \frac{31,4 \mbox{ cm}}{2 \cdot 3,14} \simeq \frac{31,4 \mbox{ cm}}{6,28} \simeq 5 \mbox{ cm}

    Per calcolare l'area della superficie laterale ci serve la misura dell'apotema del cono, che possiamo determinare con il teorema di Pitagora

    \\ a=\sqrt{h^2+r^2} = \sqrt{(12 \mbox{ cm})^2+(5 \mbox{ cm})^2} = \\ \\ = \sqrt{144 \mbox{ cm}^2 + 25 \mbox{ cm}^2} = \sqrt{169 \mbox{ cm}^2} = 13 \mbox{ cm}

    Abbiamo tutto quello che ci serve per concludere l'esercizio

    S_{lat}=\pi r a \simeq 3,14 \cdot (5 \mbox{ cm}) \cdot (13 \mbox{ cm}) \simeq 204,1 \mbox{ cm}^2

    Calcolo area superficie totale cono

    L'area della superficie totale è la somma tra l'area di base e l'area della superficie laterale

    S_{tot}=S_{lat}+S_{b}

    Svolgimento: come abbiamo già osservato

    \\ S_{lat} = \pi r a \\ \\ S_{b}=\pi r^2

    Sostituendo tali espressioni nella precedente relazione otteniamo una formula diretta per l'area della superficie totale con raggio di base e apotema

    S_{tot} = S_{lat} + S_{b} = \pi r a + \pi r^2 = \pi r (a+r)

    In definitiva

    S_{tot}=\pi r (a+r)

    Esempio

    L'apotema di un cono misura 6,5 dm e la sua altezza è di 5,6 dm. Calcolare l'area della superficie totale.

    Svolgimento: disponendo delle misure di apotema e altezza possiamo determinare la lunghezza del raggio di base con il teorema di Pitagora, per poi calcolare l'area della superficie totale

    \\ r=\sqrt{a^2-h^2} = \sqrt{(6,5 \mbox{ dm})^2-(5,6 \mbox{ dm})^2} = \\ \\ = \sqrt{42,25 \mbox{ dm}^2 - 31,36 \mbox{ dm}^2} = \sqrt{10,89 \mbox{ dm}^2} = 3,3 \mbox{ dm} \\ \\ \\ S_{tot}=\pi r (a+r) \simeq 3,14 \cdot (3,3 \mbox{ dm}) \cdot (6,5 \mbox{ dm} + 3,3 \mbox{ dm}) \simeq \\ \\ \simeq  (10,362 \mbox{ dm}) \cdot (9,8 \mbox{ dm}) \simeq 101,5 \mbox{ dm}^2

    ***

    Per concludere nel migliore dei modi vi consigliamo di consultare la nostra scheda di esercizi sul cono, dove trovate tanti altri problemi svolti con cui continuare ad allenarvi. ;)

    Risposta di Galois
 
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