Soluzioni
  • L'opposto di un numero è il numero che si ottiene invertendone il segno, dunque l'opposto di un numero positivo è negativo mentre l'opposto di un numero negativo è positivo. L'unico numero che coincide con il proprio opposto è lo zero.

    La nozione di opposto in Matematica viene definita a partire dai numeri, ma viene estesa naturalmente a qualsiasi entità o concetto che possa essere coinvolto in operazioni aritmetiche o algebriche.

    Procediamo con ordine.

    Numeri opposti

    Il concetto di numero opposto è estremamente semplice: per ottenere l'opposto di un numero a si tratta di anteporre ad esso un segno meno.

    a>0\ \to\ \mbox{opposto}:\ -a<0\\ \\ a<0\ \to\ \mbox{opposto}:\ -a>0

    L'unico numero che coincide con il proprio opposto è zero, per evidenti motivi

    -0=0

    In generale bisogna prestare attenzione al contesto, o meglio a quale insieme numerico si fa riferimento:

    - nel caso dei numeri naturali la nozione di numero opposto non è definita, perché i numeri naturali sono tutti e soli i numeri interi non negativi;

    - si può parlare di numero opposto a partire dall'insieme dei numeri relativi e, ovviamente, per ogni suo sovrainsieme numerico (numeri razionali, numeri reali, numeri complessi).

    Non a caso i numeri relativi, ossia i numeri interi con segno qualsiasi, possono essere espressi come unione dell'insieme dei numeri naturali e dell'insieme degli opposti dei numeri naturali

    \mathbb{N}=\{0,1,2,3,...\}\\ \\ \mathbb{Z}=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}\\ \\ \mathbb{Z}=\mathbb{N}\cup -\mathbb{N}

    dove -\mathbb{N} indica l'insieme dei numeri non positivi

    \mathbb{N}=\{0,-1,-2,-3,...\}

    Definizione equivalente di numero opposto

    Una definizione equivalente di numero opposto è la seguente: l'opposto di a è quel numero la cui somma con a dà come risultato zero

    \overline{a}\ \mbox{opposto di}\ a\ \mbox{se}\ a+\overline{a}=0

    Questa formulazione mette in evidenza il fatto che lo zero è l'unico numero che coincide col proprio opposto, infatti l'opposto dello zero è zero.

    Esempi di numeri opposti

    L'opposto di 5 è -5.

    L'opposto di -7 è 7.

    -1872 è il numero opposto di 1872.

    L'opposto della frazione \frac{4}{5} è -\frac{4}{5}.

    Opposto e reciproco

    L'opposto di un numero e il reciproco di un numero sono nozioni che vengono spesso confuse:

    - l'opposto si ottiene invertendo il segno del numero, ed è definito per qualsiasi numero purché si lavori almeno nell'insieme dei numeri relativi;

    - il reciproco si ottiene considerando il rapporto tra 1 e il numero considerato. È definito per ogni numero diverso da zero (perché non si può dividere per zero), purché si ragioni almeno nell'insieme dei numeri razionali (perché bisogna lavorare con le frazioni)

    \mbox{opposto di }a\ \to\ -a\\ \\ \mbox{reciproco di }a\neq 0\ \to\ \frac{1}{a}

    Estensione del concetto di opposto in Matematica

    Le nozioni aritmetiche di base vengono estese naturalmente anche al contesto algebrico e a quello analitico. Ad esempio, si possono definire i concetti di monomio opposto, polinomio opposto, funzione opposta... E così via. ;)

    Risposta di Omega
 
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