Soluzioni
  • Le potenze di numeri negativi con esponenti interi hanno un segno che dipende dall'esponente: se si considera la potenza di un numero negativo con esponente pari, il risultato è positivo; al contrario la potenza di un numero negativo con esponente dispari dà un risultato negativo.

    Sottolineiamo che la regola vale se si considerano potenze:

    - i cui esponenti sono numeri interi relativi (ad esempio -5, -8, 1, 14...)

    - e le cui basi sono numeri negativi qualsiasi;

    Con queste premesse c'è una regola ben precisa per calcolare le potenze con base negativa:

    1) il segno di una potenza di un numero negativo con esponente PARI è positivo (+)

    2) il segno di una potenza di un numero negativo con esponente DISPARI è negativo (-)

    Potenze di numeri negativi ed esponente pari o dispari

    Per capire a fondo la regola è necessario ricordare la regola dei segni per le moltiplicazioni:

    più per più fa più: + · + = +

    più per meno fa meno: + · - = -

    meno per più fa meno: - · + = -

    meno per meno fa più: - · - = +

    Ragioniamo. Per come sono definite le potenze, elevare un numero a un esponente intero vuol dire moltiplicarlo per se stesso un numero di volte pari all'esponente:

    a^n=\overbrace{a\cdot a\cdot ...\cdot a}^{n\mbox{ volte}}

    Si capisce subito che se l'esponente è pari allora avremo coppie di segni meno che, moltiplicati tra loro, daranno dei segni più.

    Se invece l'esponente è dispari, avremo un meno che avanza nei prodotti e quindi ci ritroveremo a moltiplicare un segno più per un segno meno.

    Esempi di potenze di numeri negativi

    (-5)^2=(-5)\cdot (-5)=+25\\ \\ (-5)^3=(-5)\cdot (-5)\cdot (-5)=-125\\ \\ (-5)^4=(-5)\cdot (-5)\cdot (-5)\cdot (-5)=+625\\ \\ (-5)^5=(-5)\cdot (-5)\cdot (-5)\cdot (-5)\cdot (-5)=-3125

    Riassumendo

    In parole povere quando si calcola la potenza con esponente intero di una base negativa, il risultato avrà segno + se l'esponente è pari e segno - se l'esponente è dispari. Affianco al segno del risultato metteremo la potenza del valore assoluto della base.

    Consideriamo a positivo, dunque -a è negativo: 

    - se n è pari

    [n\mbox{ pari}]\ \ \to\ \ (-a)^{n}=+a^n

    - se n è dispari

    [n\mbox{ dispari}]\ \ \to\ \ (-a)^n=-a^n

    ***

    Per ripassare le potenze e le proprietà delle potenze, vi invitiamo alla lettura delle spiegazioni dei rispettivi link. Sappiate inoltre che su YM è disponibile un tool per calcolare le potenze online. :)

    Risposta di Omega
 
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