Calcolare l'integrale di x^2 e^x

  1. Home
  2. Domande e Risposte
  3. Wiki - Analisi Matematica

Non riesco a calcolare l'integrale del prodotto tra una potenza e una funzione esponenziale, immagino che si debba utilizzare il metodo di integrazione per parti, ma non riesco a terminare l'integrale indefinito nel modo corretto.

 

∫ x^(2)e^(x)dx

 

Potreste darmi una mano? Grazie mille!

Domanda di 904

 
Soluzioni

  • L'integrale indefinito

    ∫ x^2 e^(x)dx

    va risolto mediante la formula di integrazione per parti, ossia

    ∫ f(x)g'(x)dx = f(x)g(x)-∫ f'(x)g(x)dx

    dove f(x) è il fattore finito (facile da derivare) mentre g'(x) è il fattore differenziale (facile da integrare).

    Scegliamo come f(x) la funzione potenza y = x^2 perché una volta derivata (vedi la derivata di una potenza), il suo esponente diminuirà di un'unità, e per esclusione il fattore differenziale è la funzione esponenziale g'(x) = e^(x) ed è facilissimo determinare una sua primitiva

    f(x) = x^2 ⇒ f'(x) = 2x ; ; g'(x) = e^(x) ⇒ g(x) = e^(x)

    A questo punto facciamo intervenire la formula di integrazione per parti

    ∫ x^2 e^(x)dx = e^(x)x^2-∫ 2x e^(x)dx =

    L'integrale al secondo membro si risolve nuovamente per parti, scegliendo come fattore finito 2x e come fattore differenziale e^(x)

    = e^(x)x^2-(2x e^(x)-∫ 2e^(x)dx) =

    Abbiamo praticamente concluso quello rimasto è un integrale fondamentale

    = e^(x)x^2-(2x e^(x)-2e^(x)+c) = e^(x)x^2-2x e^(x)+2e^(x)-c = e^(x)(x^2-2x+2)+k

    dove k = -c è una costante additiva reale. In definitiva l'integrale di partenza è

    ∫ x^2e^(x)dx = e^(x)(x^2-2x+2)+c

    e l'esercizio finisce qui.

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
Le più lette
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Wiki - Analisi Matematica