Somma di due numeri razionali

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Ciao, volevo chiedervi se la somma di due numeri razionali è sempre un numero razionale. Se fosse così potete spiegarmi come dimostrarlo (e come dimostrarlo eventualmente nel caso in cui non fosse vero). Grazie mille!

Domanda di FAQ

 
Soluzioni

  • Ciao, certamente: la somma di due numeri razionali è sempre un numero razionale. Vediamo perché.

    Ricordiamoci cos'è un numero razionale (click!): un rapporto di numeri relativi.

    [Dimostrazione per studenti minimo minimo del liceo]

    Prendiamo due numeri razionali r,s\in\mathbb{Q}, dunque saranno dati dal rapporto di opportuni numeri relativi p,q,u,v\in\mathbb{Z} con q\neq 0\neq v

    r=\frac{p}{q}\ \ \ \mbox{ e }\ \ \ s=\frac{u}{v}

    Calcoliamo la somma dei due numeri relativi

    r+ s=\frac{p}{q}+\frac{u}{v}

    Per poter scrivere la somma come un'unica frazione dobbiamo ragionare in termini generali. E' l'unico punto delicato della dimostrazione, più che altro per questioni di natura "tecnica".

    Se chiamiamo d il minimo comune multiplo di q,v, sappiamo che esso è un numero relativo e che q,v dividono entrambi d.

    Di conseguenza esisteranno due numeri relativi a,b tali che

    d=aq

    d=bv

    Dunque

    r+ s=\frac{p}{q}+\frac{u}{v}=\frac{pa+ub}{d}

    Il prodotto di due numeri relativi è un numero relativo, lo stesso dicasi per il prodotto. Il numeratore è quindi un numero relativo.

    Dato che abbiamo scritto r+s come rapporto di due numeri relativi concludiamo che la somma di due razionali è sempre razionale.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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