Soluzioni
  • La potenza di una frazione è una frazione che ha a numeratore la potenza del numeratore e a denominatore la potenza del denominatore. Per calcolare la potenza di una frazione basta elevare a potenza sia il numeratore che il denominatore della frazione di partenza.

    \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\ \ \ (b\neq 0)

    Esempi sul calcolo delle potenze di frazioni

    • Calcoliamo il valore della frazione 5/7 elevata alla seconda

    \left(\frac{5}{7}\right)^2=

    eleviamo numeratore e denominatore, separatamente, all'esponente 2

    =\left(\frac{5}{7}\right)^2=\frac{5^2}{7^2}=

    e calcoliamo le potenze

    =\frac{25}{49}

    • Un altro semplice esercizio: calcoliamo la potenza della frazione -4/9 al cubo.

    \left(-\frac{4}{9}\right)^3=

    Anche qui eleviamo numeratore e denominatore all'esponente della potenza, ma prima dobbiamo prestare attenzione al segno meno. Per non commettere errori applichiamo direttamente la regola dei segni in relazione alle potenze di numeri negativi.

    Poiché l'esponente e dispari, il risultato avrà segno meno

    =-\left(\frac{4}{9}\right)^3=

    dopodiché applichiamo la regola per la potenza di una frazione

    =-\frac{4^3}{9^3}=-\frac{64}{729}

    Dimostrazione della formula per le potenze di frazioni

    Per ricavare la formula per la potenza di una frazione basta applicare la definizione di potenza e la regola per le moltiplicazioni tra frazioni.

    \left(\frac{a}{b}\right)^n=\overbrace{\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}\cdot...\cdot\frac{a}{b}}^{n\mbox{ volte}}=\frac{\overbrace{a\cdot a\cdot...\cdot a}^{n\mbox{ volte}}}{\underbrace{b\cdot b\cdot...\cdot b}_{n\mbox{ volte}}}=\frac{a^n}{b^n}

    È importante notare che questa regola è l'inverso della proprietà del rapporto di potenze con lo stesso esponente, secondo cui il rapporto tra due potenze con lo stesso esponente è uguale al rapporto delle basi elevato al comune esponente di partenza.

    In pratica basta leggere la precedente formula al contrario, da destra verso sinistra.

    \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\ \ \longleftrightarrow\ \ \frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n

    Potenze di frazioni con esponente negativo

    Nel caso di potenze di frazioni con esponente negativo basta eliminare il segno meno dell'esponente, considerando il reciproco della frazione, e calcolare la potenza come visto in precedenza.

    \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n=\frac{b^n}{a^n}

    Esempio sul calcolo di una potenza di frazione con esponente negativo

    \left(\frac{2}{3}\right)^{-4} =

    applichiamo la regola per le potenze con esponente negativo, ossia eliminiamo il segno meno dell'esponente passando al reciproco della base

    =\left(\frac{3}{2}\right)^4=

    Eleviamo a potenza numeratore e denominatore, e calcoliamo le potenze

    =\frac{3^4}{2^4}=\frac{81}{16}

    ***

    Per tutto quello che c'è da sapere sulle potenze rimandiamo alla lezione del link. Ci sono inoltre:

    - un'ulteriore lezione dedicata alle proprietà delle potenze, in cui elenchiamo tutte le regole che le mettono in relazione con le varie operazioni. Da lì è possibile consultare tantissimi esercizi proposti e svolti;

    - un tool per effettuare il calcolo delle potenze online. ;)

    Risposta di Galois
 
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