Soluzioni
  • Per calcolare la potenza di una frazione qualsiasi è sufficiente considerare la frazione in cui il numeratore è la potenza del numeratore di partenza, e il denominatore è la potenza del denominatore di partenza. La formula per le potenze di frazioni è dunque la seguente

    \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\ \ \ (b\neq 0)

    Nel caso di potenze di frazioni con esponente negativo bisogna eliminare il segno meno e considerare il reciproco della frazione, cioè "rovesciarla"

    \left(\frac{a}{b}\right)^{-1}=\left(\frac{b}{a}\right)

    quindi

    \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n=\frac{b^n}{a^n}

    Esempi sul calcolo delle potenze di frazioni

    1) Ad esempio per determinare il valore della frazione 5/7 elevata alla seconda

    \left(\frac{5}{7}\right)^2

    Non dovremo fare altro che elevare numeratore e denominatore separatamente all'esponente 2

    \left(\frac{5}{7}\right)^2=\frac{5^2}{7^2}=\frac{25}{49}

    2) Vediamo un altro semplice esercizio: calcoliamo la potenza della frazione -4/9 al cubo.

    \left(-\frac{4}{9}\right)^3

    Anche qui eleveremo numeratore e denominatore all'esponente della potenza, ma prima dobbiamo prestare attenzione al segno meno. Volendo possiamo applicare direttamente la regola dei segni in relazione alle potenze di numeri negativi. Poiché l'esponente e dispari, il risultato avrà segno meno

    \left(-\frac{4}{9}\right)^3=-\left(\frac{4}{9}\right)^3=

    dopodiché applichiamo la regola per la potenza di una frazione

    =-\frac{4^3}{9^3}=-\frac{64}{729}

    3) Che dire delle potenze di frazioni con esponente negativo?

    \left(\frac{2}{3}\right)^{-4}

    L'importante è applicare una proprietà alla volta: prima di tutto applichiamo la regola per le potenze con esponente negativo, elimineremo il segno meno dell'esponente e scriveremo il reciproco della base

    \left(\frac{2}{3}\right)^{-4}=\left(\frac{3}{2}\right)^4=

    e infine

    =\frac{3^4}{2^4}=\frac{81}{16}

    Dimostrazione della formula per le potenze di frazioni

    Per ricavare la formula per la potenza di una generica frazione basta applicare la definizione di potenza e la regola per le moltiplicazioni tra frazioni

    \left(\frac{a}{b}\right)^n=\overbrace{\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}\cdot...\cdot\frac{a}{b}}^{n\mbox{ volte}}=\frac{\overbrace{a\cdot a\cdot...\cdot a}^{n\mbox{ volte}}}{\underbrace{b\cdot b\cdot...\cdot b}_{n\mbox{ volte}}}=\frac{a^n}{b^n}

    È importante notare che questa regola è l'inverso della proprietà del rapporto di potenze con lo stesso esponente, secondo cui il rapporto tra due potenze con lo stesso esponente è uguale al rapporto delle basi elevato al comune esponente di partenza. In pratica basta leggere la precedente formula al contrario, da destra verso sinistra.

    \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\ \ \longleftrightarrow\ \ \frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n

    ***

    Per tutto quello che c'è da sapere sulle potenze rimandiamo alla lezione del link. Ci sono inoltre:

    - un'ulteriore lezione dedicata alle proprietà delle potenze, in cui elenchiamo tutte le regole che le mettono in relazione con le varie operazioni. Da lì è possibile risalire a tantissimi esercizi proposti e svolti;

    - un tool per effettuare il calcolo delle potenze online. ;)

    Risposta di Omega
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