Area dell'ottagono

L'area dell'ottagono è la misura della superficie racchiusa tra i suoi otto lati e si calcola in modi differenti, a seconda che l'ottagono considerato sia un poligono regolare o un poligono irregolare.

L'area di un ottagono regolare si calcola come A=L²·φ, ossia come prodotto tra il quadrato del lato e la costante d'area φ=4,828, oppure con la formula A=2p·a/2, ossia come semiprodotto tra il perimetro e l'apotema, o ancora mediante una delle tante formule che vedremo qui di seguito.

Per l'area di un ottagono irregolare non esiste alcuna formula specifica; si può solamente dividere l'ottagono in poligoni di cui si conoscono formule dirette per il calcolo dell'area, per poi ottenere quella dell'ottagono come somma delle singole aree.

Area ottagono regolare = L²·φ.

Formule per l'area dell'ottagono

Prima di elencare tutte le formule dell'area di un ottagono regolare specifichiamo il significato dei simboli che useremo: indica l'area, il perimetro, l'apotema (raggio della circonferenza inscritta), il raggio della circonferenza circoscritta, il numero fisso e la costante d'area.

Nessuno pretenderà mai che ricordiate a memoria tutte le formule elencate in tabella. Per trovare l'area di un ottagono regolare basta risalire alla misura del lato, che può essere calcolata da qualsiasi altro dato a nostra disposizione, dopodiché è sufficiente moltiplicare il quadrato della lunghezza del lato per la costante d'area φ=4,828.

Per qualsiasi tipo di informazione sull'ottagono e per una tabella con tutte le formule, comprese le formule inverse dell'area, vi rimandiamo alla lezione del link.

Esercizi svolti sull'area dell'ottagono

Analizziamo le formule elencate una alla volta e vediamo come si applicano negli esercizi sul calcolo dell'area dell'ottagono regolare. Successivamente vi mostreremo un problema svolto sull'area di un ottagono irregolare.

Calcolo area ottagono con il lato

Quando è nota la misura del lato di un ottagono regolare si può trovare l'area procedendo in due modi del tutto equivalenti. Possiamo:

- moltiplicare la costante d'area (φ=4,828) per il quadrato della misura del lato

- svolgere il prodotto tra il quadruplo della lunghezza del lato e il numero fisso dell'ottagono (f=1,207)

Esempio

Calcolare l'area di un ottagono regolare sapendo che il lato misura 6 centimetri.

Usiamo dapprima la formula con la costante d'area

Verifichiamo che si giunge allo stesso risultando optando per la formula con lato e numero fisso

Calcolo area ottagono con l'apotema

La formula diretta che permette di calcolare l'area dell'ottagono disponendo della misura dell'apotema prevede di dividere il quadruplo del quadrato della misura dell'apotema per il numero fisso

Se oltre all'apotema disponiamo della misura del lato, si può calcolare l'area come il prodotto tra la lunghezza dell'apotema e il quadruplo della lunghezza del lato

Esempio

L'apotema di un ottagono misura 24,14 metri; calcolare l'area.

In alternativa avremmo potuto determinare la lunghezza del lato dividendo la misura dell'apotema per il numero fisso

e calcolare l'area come prodotto tra il quadrato del lato e la costante d'area

Calcolo area ottagono con il perimetro

Un ottagono regolare ha 8 lati congruenti, quindi per calcolare l'area dal perimetro di un ottagono regolare si deve:

- dividere la misura del perimetro per 8, ottenendo la lunghezza del lato;

- trovare l'area moltiplicando il quadrato della lunghezza del lato per la costante d'area.

Esempio

Il perimetro di un ottagono è di 24 decimetri; calcolare la sua area.

Troviamo la misura del lato dividendo il perimetro per 8

Calcoliamo l'area con la relativa formula

Area di un ottagono irregolare

L'unico metodo che in generale ci permetterà di calcolare l'area di un ottagono irregolare prevede di scomporlo in poligoni di cui si conoscono le formule per l'area, calcolare l'area di ciascun poligono e sommarle.

Esempio

Calcolare l'area dell'ottagono irregolare di vertici A, B, C, D, E, F, G, H rappresentato in figura.

Area di un ottagono irregolare.

Prolungando il segmento dalla parte di e prolungando il segmento dalla parte di si divide l'ottagono in due rettangoli e un quadrato.

L'area dell'ottagono è la somma delle aree dei due rettangoli e del quadrato.

Del rettangolo di vertici è nota la misura della base

Per trovare l'area del rettangolo ci serve la lunghezza dell'altezza

Dalla rappresentazione grafica dell'ottagono si evince che

Inoltre, osserviamo che

Pertanto

Possiamo ora calcolare l'area del rettangolo di vertici

Passiamo ora al rettangolo di vertici , di cui sappiamo che

Disponendo delle misure di base e altezza possiamo trovarne l'area

Infine, troviamo l'area del quadrato di vertici elevando al quadrato la misura del lato

Sommando le aree dei tre poligoni si ottiene l'area dell'ottagono irregolare

***

Se siete alla ricerca di altri esercizi svolti sull'area dell'ottagono potete usare la barra di ricerca interna. ;)