Soluzioni
  • L'area dell'ottagono esprime la misura della superficie racchiusa tra i suoi otto lati e si calcola in modi differenti, a seconda che l'ottagono considerato sia un poligono regolare o un poligono irregolare.

    Per trovare l'area di un ottagono regolare basta moltiplicare il quadrato della misura del lato per la costante d'area φ=4,828 oppure usare una delle tante formule che elencheremo tra un istante.

    Per calcolare l'area di un ottagono irregolare non esiste alcuna formula specifica; si può solo dividere l'ottagono in poligoni di cui si conoscono formule dirette per il calcolo dell'area, per poi ottenere quella dell'ottagono come somma delle singole aree.

     

    Area ottagono

    Area ottagono regolare = L2 × φ

     

    Formule per l'area dell'ottagono

    Prima di elencare tutte le formule dell'area di un ottagono regolare specifichiamo il significato dei simboli che useremo: A indica l'area, 2p il perimetro, a l'apotema (raggio della circonferenza inscritta), R il raggio della circonferenza circoscritta, f il numero fisso e \varphi la costante d'area.

     

    Area dell'ottagono con lato e costante d'area (\varphi=4,828)

    A=L^2 \times \varphi

    Area dell'ottagono con lato e numero fisso (f=1,207)

    A=4L^2 \times f

    Area dell'ottagono con lato e apotema

    A=4L \times a

    Area dell'ottagono con apotema e numero fisso

    A=\frac{4a^2}{f}

    Area dell'ottagono con perimetro e apotema

    A=\frac{2p \times a}{2}

    Area dell'ottagono con raggio della circonferenza circoscritta

    A=2\sqrt{2} \times R^2

     

    Nessuno pretenderà mai che ricordiate a memoria tutte le formule elencate in tabella. Per trovare l'area di un ottagono regolare basta risalire alla misura del lato, che può essere calcolata da qualsiasi altro dato a nostra disposizione, dopodiché è sufficiente moltiplicare il quadrato della lunghezza del lato per la costante d'area φ=4,828.

    Per qualsiasi tipo di informazione sull'ottagono e per una tabella con tutte le formule, comprese le formule inverse dell'area, vi rimandiamo alla lezione del link.

    Esercizi svolti sull'area dell'ottagono

    Analizziamo le formule elencate una alla volta e vediamo come si applicano negli esercizi sul calcolo dell'area dell'ottagono regolare. Successivamente vi mostreremo un problema svolto sull'area di un ottagono irregolare.

    Calcolo area ottagono con il lato

    Quando è nota la misura del lato di un ottagono regolare si può trovare l'area procedendo in due modi del tutto equivalenti. Possiamo:

    - moltiplicare la costante d'area (φ=4,828) per il quadrato della misura del lato

    A=L^2 \times \varphi

    - svolgere il prodotto tra il quadruplo della lunghezza del lato e il numero fisso dell'ottagono (f=1,207)

    A=4L^2 \times f

    Esempio

    Calcolare l'area di un ottagono regolare sapendo che il lato misura 6 centimetri.

    Usiamo dapprima la formula con la costante d'area

    \\ A=L^2 \times \varphi = (6 \mbox{ cm})^2 \times 4,828 = \\ \\ = 36 \mbox{ cm}^2 \times 4,828 = 173,808 \mbox{ cm}^2

    Verifichiamo che si giunge allo stesso risultando optando per la formula con lato e numero fisso

    \\ A=4L^2 \times f = 4 \times (6 \mbox{ cm})^2 \times 1,207 = \\ \\ = 4 \times (36 \mbox{ cm}^2) \times 1,207 = 173,808 \mbox{ cm}^2

    Calcolo area ottagono con l'apotema

    La formula diretta che permette di calcolare l'area dell'ottagono disponendo della misura dell'apotema prevede di dividere il quadruplo del quadrato della misura dell'apotema per il numero fisso

    A=\frac{4a^2}{f}

    Se oltre all'apotema disponiamo della misura del lato, si può calcolare l'area come il prodotto tra la lunghezza dell'apotema e il quadruplo della lunghezza del lato

    A=4L \times a

    Esempio

    L'apotema di un ottagono misura 24,14 metri; calcolare l'area.

    \\ A=\frac{4a^2}{f} = \frac{4 \times (24,14 \mbox{ m})^2}{1,207} = \frac{4 \times (582,7396 \mbox{ m}^2)}{1,207} = \\ \\ \\ = \frac{2330,9584 \mbox{ m}^2}{1,207} = 1931,2 \mbox{ m}^2

    In alternativa avremmo potuto determinare la lunghezza del lato dividendo la misura dell'apotema per il numero fisso

    L=\frac{a}{f} = \frac{24,14 \mbox{ m}}{1,207} = 20 \mbox{ m}

    e calcolare l'area come prodotto tra il quadrato del lato e la costante d'area

    A=L^2 \times \varphi = (20 \mbox{ m})^2 \times 4,828 = (400 \mbox{ m}^2) \times 4,828 = 1931,2 \mbox{ m}^2

    Calcolo area ottagono con il perimetro

    Un ottagono regolare ha 8 lati congruenti, quindi per calcolare l'area dal perimetro di un ottagono regolare si deve:

    - dividere la misura del perimetro per 8, ottenendo la lunghezza del lato;

    - trovare l'area moltiplicando il quadrato della lunghezza del lato per la costante d'area.

    Esempio

    Il perimetro di un ottagono è di 24 decimetri; calcolare la sua area.

    Troviamo la misura del lato dividendo il perimetro per 8

    L=\frac{2p}{8} = \frac{24 \mbox{ dm}}{8} = 3 \mbox{ dm}

    Calcoliamo l'area con la relativa formula

    A=L^2 \times \varphi = (3 \mbox{ dm})^2 \times 4,828 = (9 \mbox{ dm}^2) \times 4,828 = 43,452 \mbox{ dm}^2

    Area di un ottagono irregolare

    L'unico metodo che in generale ci permetterà di calcolare l'area di un ottagono irregolare prevede di scomporlo in poligoni di cui si conoscono le formule per l'area, calcolare l'area di ciascun poligono e sommarle.

    Esempio

    Calcolare l'area dell'ottagono irregolare di vertici A, B, C, D, E, F, G, H rappresentato in figura.

     

    Area ottagono irregolare

     

    Prolungando il segmento EF dalla parte di F e prolungando il segmento GH dalla parte di H si divide l'ottagono in due rettangoli e un quadrato.

    L'area dell'ottagono è la somma delle aree dei due rettangoli e del quadrato.

    Del rettangolo di vertici D, \ C, \ K, \ E è nota la misura della base

    \overline{EK} = \overline{CD} = 6 \mbox{ cm}

    Per trovare l'area del rettangolo ci serve la lunghezza dell'altezza DE

    Dalla rappresentazione grafica dell'ottagono si evince che

    \overline{DE} = \overline{EF} = \overline{FG} = \overline{GH} = \overline{HA} = \overline{AB}

    Inoltre, osserviamo che

    \overline{EF} + \overline{GH} + \overline{AB} = \overline{CD} = 6 \mbox{ cm}

    Pertanto

    \overline{DE} = \overline{EF} = \overline{FG} = \overline{GH} = \overline{HA} = \overline{AB} = \frac{\overline{CD}}{3} = 2 \mbox{ cm}

    Possiamo ora calcolare l'area del rettangolo di vertici D, \ C, \ K, \ E

    A_{DCKE} = \overline{EK} \times \overline{DE} = (6 \mbox{ cm}) \times (2 \mbox{ cm}) = 12 \mbox{ cm}^2

    Passiamo ora al rettangolo di vertici F, \ K, \ L, \ G, di cui sappiamo che

    \\ \overline{FG} = 2 \mbox{ cm} \\ \\ \overline{FK} = \overline{EK} - \overline{EF} = 6 \mbox{ cm} - 2 \mbox{ cm} = 4 \mbox{ cm}

    Disponendo delle misure di base e altezza possiamo trovarne l'area

    A_{FKLG} = \overline{FK} \times \overline{FG} = (4 \mbox{ cm}) \times (2 \mbox{ cm}) = 8 \mbox{ cm}^2

    Infine, troviamo l'area del quadrato di vertici A, \ B, \ L, \ H elevando al quadrato la misura del lato

    A_{ABLH} = \overline{AB}^2 = (2 \mbox{ cm})^2 = 4 \mbox{ cm}^2

    Sommando le aree dei tre poligoni si ottiene l'area dell'ottagono irregolare

    \\ A_{ABCDEFGH} = A_{DCKE}+A_{FKLG}+A_{ABLH} = \\ \\ = 12 \mbox{cm}^2 + 8 \mbox{ cm}^2 + 4 \mbox{ cm}^2 = 24 \mbox{ cm}^2

    ***

    Se siete alla ricerca di altri esercizi svolti sull'area dell'ottagono potete usare la barra di ricerca interna. ;)

    Risposta di Galois
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