Soluzioni
  • Per calcolare l'integrale della cosecante conviene ricorrere ad un piccolo artificio algebrico. Prendiamo l'integrale di csc(x)

    \int{\csc{(x)}dx}

    e moltiplichiamo e dividiamo l'integranda per la somma della cosecante più la cotangente

    \int{\csc{(x)}\frac{\csc{(x)}+\cot{(x)}}{\csc{(x)}+\cot{(x)}}dx}

    ora è sufficiente integrare per sostituzione, ponendo

    y=\csc{(x)}+\cot{(x)}

    non invertiamo la legge di cambiamento della variabile, procediamo piuttosto per differenziazione diretta:

    dy=\frac{d}{dx}[\csc{(x)}+\cot{(x)}]dx

    calcolando la derivata della suddetta funzione, dobbiamo sommare la derivata della cosecante e la derivata della cotangente

    dy=(-\csc{(x)}\cot{(x)}-\csc^2{(x)})dx

    cosicché possiamo sostituire dy al posto del numeratore

    \int{\frac{-dy}{y}}

    Il suddetto integrale è immediato, infatti l'integranda ha come primitiva il logaritmo naturale del modulo di y

    \int{\frac{-dy}{y}}=-\ln{|y|}+c

    Non ci resta che ri-effettuare la sostituzione e abbiamo finito. L'integrale della cosecante è dato da

    \int{\csc{(x)}dx}=-\ln{|\csc{(x)}+\cot{(x)}|}+c

    Potrebbe interessarti: tavola degli integrali notevoli - click!

    Namasté!

    Risposta di Omega
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