Integrale della cosecante

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Se devo calcolare l'integrale della cosecante, come devo fare? Mi aiutate mostrandomi il procedimento per determinare l'integrale di cosec(x) e il risultato? Ho provato a risolverlo ma non so neanche come iniziare...grazie in anticipo!

Domanda di FAQ

 
Soluzioni

  • Per calcolare l'integrale della cosecante conviene ricorrere ad un piccolo artificio algebrico. Prendiamo l'integrale di csc(x)

    ∫csc(x)dx

    e moltiplichiamo e dividiamo l'integranda per la somma della cosecante più la cotangente

    ∫csc(x)(csc(x)+cot(x))/(csc(x)+cot(x))dx

    ora è sufficiente integrare per sostituzione, ponendo

    y = csc(x)+cot(x)

    non invertiamo la legge di cambiamento della variabile, procediamo piuttosto per differenziazione diretta:

    dy = (d)/(dx)[csc(x)+cot(x)]dx

    calcolando la derivata della suddetta funzione, dobbiamo sommare la derivata della cosecante e la derivata della cotangente

    dy = (-csc(x)cot(x)-csc^2(x))dx

    cosicché possiamo sostituire dy al posto del numeratore

    ∫(-dy)/(y)

    Il suddetto integrale è immediato, infatti l'integranda ha come primitiva il logaritmo naturale del modulo di y

    ∫(-dy)/(y) = -ln(|y|)+c

    Non ci resta che ri-effettuare la sostituzione e abbiamo finito. L'integrale della cosecante è dato da

    ∫csc(x)dx = -ln(|csc(x)+cot(x)|)+c

    Potrebbe interessarti: tavola degli integrali notevoli - click!

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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