La funzione coseno è dispari o pari?

La funzione coseno è pari in quanto cos(-x)=cos(x) per ogni x appartenente al dominio della funzione coseno. Per capirlo si può usare la circonferenza goniometrica, oppure guardare il grafico della funzione coseno e notare che è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate.

Vediamo i due metodi nel dettaglio.

Stabilire se la funzione coseno è pari oppure dispari con la circonferenza goniometrica

Richiamiamo brevemente le definizioni di funzione dispari e di funzione pari.

Sia una funzione reale di variabile reale e chiamiamo il suo dominio.

• è una funzione dispari se per ogni risulta che ;

• è una funzione pari se per ogni risulta che .

Consideriamo la funzione coseno

Sappiamo che ha come dominio tutto , che viene definita tramite l'ampiezza di angoli (espressa in gradi oppure in radianti) e che restituisce un numero reale compreso tra -1 e 1 ottenuto mediante la circonferenza goniometrica.

Ciò premesso, per stabilire se il coseno è una funzione dispari oppure pari fissiamo un angolo qualsiasi e concentriamoci sui valori del coseno di e del coseno di :

- se , la funzione coseno è dispari;

- se , la funzione coseno è pari.

Disegniamo la circonferenza goniometrica e tracciamo due angoli con vertici nell'origine degli assi, uno di ampiezza e l'altro di ampiezza : il primo si ottiene partendo dal semiasse delle ascisse positive e girando in senso antiorario, il secondo si ricava partendo sempre dal semiasse delle ascisse positive ma girando in senso orario.

Indichiamo con il punto di intersezione tra il secondo lato dell'angolo di ampiezza e la circonferenza goniometrica, e chiamiamo il punto di intersezione tra il secondo lato dell'angolo di ampiezza e la circonferenza.

Coseno pari o dispari con la circonferenza goniometrica.

Il coseno di un angolo è definito come l'ascissa del punto di intersezione tra il secondo lato dell'angolo e la circonferenza goniometrica, dunque

Come risulta evidente dalla precedente immagine, i punti hanno la stessa ascissa

per cui

Dall'arbitrarietà della scelta dell'angolo segue che per ogni , e quindi la funzione coseno è pari.

Nota bene: se hai già studiato le formule trigonometriche saprai che l'uguaglianza

è una delle formule degli archi associati. Quella che abbiamo proposto ne è la dimostrazione.

Stabilire se la funzione coseno è pari oppure dispari dal suo grafico

Un altro metodo con cui stabilire se una funzione è pari oppure dispari è quello di guardare il grafico della funzione e di cercare eventuali simmetrie rispetto all'origine oppure rispetto all'asse y.

Ricordiamo infatti che:

• se il grafico di una funzione è simmetrico rispetto all'asse y, allora la funzione è pari;

• se il grafico di una funzione è simmetrico rispetto all'origine degli assi, allora la funzione è dispari.

Osserviamo il grafico della funzione coseno, detto anche cosinusoide:

Grafico della funzione coseno.

Indubbiamente è presente una simmetria rispetto all'asse y, per cui la funzione coseno è pari.

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Non abbiamo altro da aggiungere, se non lasciarti un paio di riferimenti utili:

- per un elenco di tutte le proprietà della funzione coseno - click!

- se vuoi sapere se la funzione seno è pari oppure dispari - click!