Soluzioni
  • Ragioniamo nel caso poligoni convessi, giusto per semplicare il discorso. La formula che otterremo alla fine varrà anche per poligoni concavi, in questo caso le diagonali potranno essere sia interne che esterne, ma non importa... ;)

    Possiamo ricavare la formula per il numero di diagonali in modo molto semplice, basta ragionare sul numero di vertici del poligono e contare quante diagonali escono da tale vertice. L'unica difficoltà consiste nel non contare più volte una stessa diagonale.

    Quando avremo la formula del numero di diagonali di un poligono partendo dal numero di vertici, avremo automaticamente la formula con il numero di lati. Questo perché naturalmente in ogni poligono il numero di vertici coincide con il numero di lati.

    Per avere una base su cui ragionare prendiamo un poligono regolare (solo per farci un'idea, il ragionamento varrà per ogni poligono) con n vertici.

    Primo vertice: contiamo tutti i lati e tutte le diagonali che arrivano nel vertice. In totale abbiamo (n-1) tra lati e diagonali entranti, tanti quanti sono i vertici del poligono meno quello considerato.

    Secondo vertice: come prima, solo che qui dobbiamo togliere un lato che abbiamo già contato, quello che congiunge il secondo vertice con il primo. In totale abbiamo (n-2) tra lati e diagonali entranti.

    Terzo vertice: reiteriamo il ragionamento. Oltre a dover togliere un lato (quello che congiunge il terzo vertice con il secondo, già contato) dobbiamo togliere una diagonale, quella che congiunge il terzo vertice con il primo (l'abbiamo già contata). (n-3)

    Quarto vertice: (n-4) ...

    Procedendo in questo modo arriviamo al vertice ennesimo, che avrà (n-n) tra lati e diagonali non contati.

    Calcoliamo la somma di tutti i termini

    (n-1)+(n-2)+(n-3)+...+(n-n)=(n-1)+(n-2)+(n-3)+...+0

    Una somma del genere è detta progressione aritmetica di passo 1, la cui somma è data dalla formula (che puoi dare per buona)

    \sum_{k=0}^{N-1}k=0+1+2+3+...+(N-2)+(N-1)=\frac{N(N-1)}{2}

    quindi nel nostro caso il numero di lati e di diagonali, tutti contati una sola volta, è

    0+1+2+...+(n-3)+(n-2)+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}

    Non ci resta che togliere il numero di lati del poligono e il gioco è fatto

    \frac{n(n-1)}{2}-n=\frac{n(n-3)}{2}

    in definitiva

    \mbox{Numero di diagonali di un poligono con n vertici}=\frac{n(n-3)}{2}

    Namasté!

    Risposta di Omega
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