Soluzioni
  • Sono insiemi disgiunti due insiemi con intersezione vuota. In altre parole due insiemi A, B sono disgiunti se la loro intersezione è l'insieme vuoto, ossia se A∩B=Ø.

    A,B insiemi disgiunti ⇔ A ∩ B = Ø

    Sono esempi di insiemi disgiunti:

    • l'insieme dei numeri pari e l'insieme dei numeri dispari;

    • l'insieme vuoto e qualsiasi altro insieme (vuoto o non vuoto);

    • l'insieme delle vocali dell'alfabeto italiano e l'insieme delle consonanti.

    Come stabilire se due insiemi sono disgiunti

    Consideriamo due insiemi A,B contenuti in un insieme universo E. Per stabilire se i due insiemi sono disgiunti è sufficiente individuare la loro intersezione A ∩ B:

    - se è vuota, ossia se A ∩ B = Ø, allora A,B sono insiemi disgiunti;

    - se non è vuota, ossia se A ∩ B ≠ Ø, allora A,B non sono insiemi disgiunti.

    Vediamo qualche esempio.

    1) Sia E l'insieme delle lettere dell'alfabeto italiano e siano A,B i seguenti sottoinsiemi di E:

     A = a,b,c,d,e,f ; B = c,f,m,p,q,s

    Stabilire se A,B sono insiemi disgiunti.

    Svolgimento: l'intersezione tra due insiemi è l'insieme degli elementi che appartengono a entrambi gli insiemi considerati, ossia l'insieme degli elementi in comune tra essi.

    È evidente che gli insiemi A,B hanno in comune due elementi: la lettera c e la lettera f.

    Di conseguenza la loro intersezione è non vuota

    A ∩ B = c,f ≠ Ø

    e quindi A,B non sono insiemi disgiunti.

    2) Siano N l'insieme dei numeri naturali e C,D i sottoinsiemi di N così definiti:

     C = x ∈ N | 0 ≤ x ≤ 10 ; D = x ∈ N | 10 < x ≤ 15

    Stabilire se C,D sono insiemi disgiunti.

    Svolgimento: gli insiemi C,D sono dati per caratteristica. Esprimiamoli per elencazione, così che sia più facile trovarne l'intersezione.

    C è l'insieme dei numeri naturali compresi tra 0 e 10 (estremi inclusi), per cui

    C = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

    C è l'insieme dei numeri naturali compresi tra 10 (escluso) e 15 (incluso), dunque

    D = 11,12,13,14,15

    Evidentemente i due insiemi non hanno elementi in comune, quindi la loro intersezione è vuota

    C ∩ D = Ø

    Con ciò possiamo affermare che C,D sono insiemi disgiunti.

    Rappresentazione di due insiemi disgiunti con Eulero-Venn

    I diagrammi di Eulero Venn forniscono una rappresentazione visiva degli insiemi con lo scopo di agevolare le operazioni tra essi.

    In generale il diagramma di Venn dell'intersezione tra due insiemi A,B contenuti in uno stesso insieme universo E evidenzia graficamente la parte in comune tra i due insiemi, come mostra le seguente immagine:

     

    Diagramma di Eulero Venn intersezione

    Diagramma di Venn dell'intersezione tra due insiemi qualsiasi.

     

    Poiché due insiemi disgiunti hanno intersezione vuota, il diagramma di Venn di due insiemi disgiunti si disegna rappresentando due insiemi distaccati l'uno dall'altro.

     

    Diagramma di Eulero Venn insiemi disgiunti

    Diagramma di Venn di due insiemi disgiunti.

     

    Differenza e differenza simmetrica di insiemi disgiunti

    Da qui in poi, onde evitare di ripeterlo ogni volta, supporremo che A,B siano due insiemi contenuti in un insieme universo E.

    • La differenza tra due insiemi è l'insieme degli elementi del primo insieme che non appartengono al secondo, ossia

     A-B = x ∈ E | x ∈ A ∧ x ∉ B ; B-A = x ∈ E | x ∈ B ∧ x ∉ A

    Se A,B sono insiemi disgiunti nessun elemento di A appartiene a B, così come nessun elemento di B appartiene ad A.

    Di conseguenza la differenza tra due insiemi disgiunti è uguale al primo insieme della differenza.

    A,B insiemi disgiunti ⇒ A-B = A ; B-A = B

    • La differenza simmetrica tra gli insiemi A,B si indica con A Δ B ed è definita come l'unione tra l'insieme differenza A-B e l'insieme differenza B-A:

    A Δ B = (A-B) U (B-A)

    Se A,B sono insiemi disgiunti, abbiamo appena visto che A-B = A e che B-A = B, per cui la differenza simmetrica di insiemi disgiunti coincide con l'unione degli stessi.

    A,B insiemi disgiunti ⇒ A Δ B = A U B

    ***

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    Risposta di Galois
 
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