Soluzioni
  • Ciao, Nello!

    Ho visto la tua domanda. Non temere, ti risponderò il prima possibile! Wink

    Risposta di frank094
  • Ciao, Nello.

    Andiamo a risolvere questa disequazione fratta, il cui metodo risolutivo viene ampiamente trattato nell'articolo del link.

    \frac{x - 1}{x + 1} + \frac{3}{x} < \frac{1}{4}

    La prima cosa da fare è trovare il minimo comune multiplo tra i tre denominatori: (x + 1), x e 4.
    E' chiaro che il termine cercato è dato dal prodotto di questi tre: 4x (x + 1) .. non porrò la condizione Denominatore diverso da zero in quanto la disequazione richiede che al più sia minore .. quindi non è necessario!

    \frac{ (x - 1) \cdot 4x + 3 \cdot 4 (x + 1) }{ 4x \cdot (x + 1) } < \frac{ x \cdot (x + 1) }{4x \cdot (x + 1) }

    A questo punto sviluppiamo i vari prodotti e portiamo tutti i termini del numeratore al primo membro così da ricondurci alla forma P(x) / Q(x) < 0

    \frac{ 4x^{2} - 4x + 12x + 12 }{ 4x \cdot (x + 1) } < \frac{ x^{2} + x }{4x \cdot (x + 1) }

    \frac{ 4x^{2} - 4x + 12x + 12 - x^{2} - x }{ 4x \cdot (x + 1) } < 0

    Svolgiamo somma e sottrazione di tutti i monomi uguali

    \frac{ 3x^{2} + 7x + 12 }{ 4x \cdot (x + 1) } < 0

     

    Arrivati a questo punto tutto si riduce alla risoluzione di due normali disequazioni e poi allo studio dei segni; la prima è una semplice disequazione di secondo grado, ampiamente trattata in questo articolo, procediamo:

     3x^{2} + 7x + 12 < 0

    L'equazione associata è

     3x^{2} + 7x + 12 = 0 , il cui delta è minore di zero quindi non presenta soluzioni nel campo dei Reali .. possiamo dire che è sempre positiva!

    La seconda invece è sempre una disequazione di secondo grado ma molto più semplice in quanto già scomposta in due polinomi ( il primo è un monomio ) di primo grado .. si pongono entrambi minori di zero e poi si studia il segno:

     4x < 0 \quad \rightarrow \quad x < 0

     x + 1 < 0 \quad \rightarrow \quad x < - 1

    I segni sono discordi ( perché questa è la condizione richiesta perché il polinomio sia negativo ) solo quando la x è compresa tra zero e meno uno .. la soluzione di questa disequazione è quindi:

    -1 < x < 0

     

    Adesso arriva lo studio dei segni tra numeratore e denominatore; la prima disequazione è sempre positiva quindi l'intera disequazione è verificata solo quando il denominatore è minore di zero .. la soluzione per questa condizione l'abbiamo già trovata.
    Possiamo perciò dire che la soluzione finale della disequazione è:

    - 1 < x < 0

    Tutto chiaro?

    Risposta di frank094
  • grazie

    Risposta di Nello
 
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