Soluzioni
  • La derivata di una moltiplicazione tra due funzioni è uguale alla derivata della prima funzione moltiplicata per la seconda funzione non derivata, più la prima funzione non derivata moltiplicata per la derivata della seconda funzione.

    Consideriamo due funzioni derivabili f(x) e g(x). La derivata della moltiplicazione tra f(x) e g(x) è data da

    \frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)

    La precedente formula è anche conosciuta come regola di Leibniz.

    Esempio di calcolo della derivata di una moltiplicazione

    Facciamo un esempio e calcoliamo la derivata della funzione

    y=x^2 \cos(x)

    Ci troviamo di fronte a una moltiplicazione tra le funzioni

    f(x)=x^2 \ \ \ ; \ \ \ g(x)=\cos(x)

    per cui applichiamo la formula per la derivata di una moltiplicazione

    y'=\frac{d}{dx}[x^2] \cdot \cos(x) + x^2 \cdot \frac{d}{dx}[\cos(x)]

    Calcoliamo le due derivate a secondo membro:

    - la derivata di x^2 si calcola con la regola per la derivata di una potenza, ed è uguale a 2x

    \frac{d}{dx}[x^2]=2 \cdot x^{2-1} = 2x

    - la derivata di cos(x) è una derivata fondamentale, ed è uguale a -sin(x)

    \frac{d}{dx}[\cos(x)]=-\sin(x)

    Di conseguenza

    \\ y'=\frac{d}{dx}[x^2] \cdot \cos(x) + x^2 \cdot \frac{d}{dx}[\cos(x)] = \\ \\ = 2x \cos(x) + x^2 (-\sin(x)) = \\ \\ = 2x \cos(x) - x^2 \sin(x)

    Dimostrazione della formula per la derivata di una moltiplicazione

    Siano f e g due funzioni derivabili in x. Vogliamo dimostrare la formula per la derivata di una moltiplicazione, ossia:

    \frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)

    Anzitutto ricordiamo che la moltiplicazione di due funzioni derivabili in x restituisce una funzione derivabile in x, dunque ha senso calcolare la derivata prima di (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x).

    Ciò premesso applichiamo la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale.

    Scriviamo il rapporto incrementale in x del prodotto tra f e g

    \frac{f(x+h) \cdot g(x+h) - f(x) \cdot g(x)}{h}

    La derivata prima di f(x) \cdot g(x) è il limite per h che tende a zero del suddetto rapporto, per cui

    \frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) \cdot g(x+h) - f(x) \cdot g(x)}{h}=

    Sottraiamo e addizioniamo f(x+h) \cdot g(x) a numeratore

    = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) \cdot g(x+h) - f(x+h) \cdot g(x) + f(x+h) \cdot g(x) - f(x) \cdot g(x)}{h}=

    Raccogliamo totalmente f(x+h) nei primi due termini e g(x) negli ultimi due

    = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)\left[g(x+h) - g(x)\right] + g(x) \left[f(x+h) - f(x) \right]}{h}=

    Scriviamo la frazione nel limite come somma

    = \lim_{h \to 0} \left(\frac{f(x+h)\left[g(x+h) - g(x)\right]}{h} + \frac{g(x) \left[f(x+h) - f(x) \right]}{h}\right)=

    e, in accordo con le regole dell'Algebra dei limiti, spezziamo il limite nella somma di due limiti

    = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)\left[g(x+h) - g(x)\right]}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{g(x) \left[f(x+h) - f(x) \right]}{h}= \ (\bigstar)

    A questo punto calcoliamo i due limiti separatamente, onde evitare di fare confusione e di commettere errori.

    Partiamo dal primo:

    \\ \bullet \ \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)\left[g(x+h) - g(x)\right]}{h}= \\ \\ \\ = \lim_{h \to 0} \left(f(x+h) \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)=

    Il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti

    = \lim_{h \to 0} f(x+h) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h}=

    Il primo limite va calcolato per sostituzione, ed è uguale a f(x). Il secondo è il limite per h che tende a 0 del rapporto incrementale di g in x, dunque è uguale a g'(x)

    =f(x) \cdot g'(x)

    Passiamo al secondo limite:

    \bullet \ \lim_{h \to 0} \frac{g(x) \left[f(x+h) - f(x) \right]}{h}=

    portiamo g(x) fuori dal limite (possiamo farlo perché non dipende da h)

    =g(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}=

    e otteniamo il limite per h che tende a zero del rapporto incrementale di f in x, che è uguale a f'(x)

    =g(x) \cdot f'(x)

    Torniamo ora al limite iniziale, nel punto in cui ci siamo fermati, e sostituiamo i risultati ottenuti

    (\bigstar)=f(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot f'(x)

    Abbiamo praticamente finito! Riordiniamo in modo opportuno e otteniamo la formula che ci eravamo proposti di dimostrare

    \frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)

    Caso particolare: derivata della moltiplicazione di una funzione per una costante

    La derivata della moltiplicazione di una costante per una funzione è uguale alla costante moltiplicata per la derivata della funzione.

    Più esplicitamente, se c \in \mathbb{R} è una costante e se g(x) è una funzione derivabile, allora

    \frac{d}{dx}[c \cdot g(x)] = c \cdot g'(x)

    Questa è un caso particolare della formula per la derivata di una moltiplicazione tra funzioni qualsiasi.

    Per convincercene supponiamo che f(x)=c sia una funzione costante.

    Applichiamo la formula della derivata di una moltiplicazione

    \frac{d}{dx}[c \cdot g(x)] = \frac{d}{dx}[c] \cdot g(x) + c \cdot g'(x)=

    e ricordando che la derivata di una costante è zero:

    =0 \cdot g(x) + c \cdot g'(x) = c \cdot g'(x)

    ***

    È tutto! Qualora ti servisse una lezione di riepilogo sulle regole per il calcolo delle derivate - click!

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Wiki - Analisi Matematica