Potenza di una potenza

Come si fa a calcolare la potenza di una potenza? In altri termini vorrei sapere qual è la proprietà per le potenze di potenze che permette di calcolare una potenza in cui la base è a sua volta una potenza. Mi spiegate come esprimere il risultato come un'unica potenza, e potreste mostrarmi alcuni esempi svolti?

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Soluzioni

  • La regola per la potenza di una potenza stabilisce che l'elevamento di una potenza a un dato esponente è uguale alla base elevata al prodotto tra i due esponenti. In altri termini, una potenza in cui la base è una potenza si può riscrivere elevando la base al prodotto dei due esponenti:

    (a^n)^m=a^{n\cdot m}

    Tale formula vale per qualsiasi tipologia di potenze e si estende facilmente reiterando l'elevamento all'esponente:

    ((a^n)^m)^p=a^{n\cdot m\cdot p}\\ \\ (((a^n)^m)^p)^q=a^{n\cdot m\cdot p\cdot q}\\ \\ ...

    Esempi di potenze di potenze

    1) Se volessimo calcolare

    (3^2)^2

    potremmo effettuare un calcolo diretto, sviluppando prima la potenza della base ed elevando il risultato all'esponente esterno

    (3^2)^2=(9)^2=9^2=81

    In alternativa possiamo applicare la precedente regola

    (3^2)^2=3^{2\cdot 2}=3^{4}=81

    2) Consideriamo la potenza di una frazione elevata a sua volta a un ulteriore esponente

    \left[\left(\frac{5}{2}\right)^3\right]^2

    ed esprimiamo il risultato sotto forma di un'unica frazione

    \left[\left(\frac{5}{2}\right)^3\right]^2=\left(\frac{5}{2}\right)^{3\cdot 2}=\left(\frac{5}{2}\right)^{6}=\frac{5^6}{2^6}=\frac{15625}{64}

    3) La regola si rivela particolarmente utile nelle espressioni con potenze, nonché nel calcolo letterale. Ad esempio

    (a^2bc^3)^2

    Applichiamo innanzitutto la regola per la potenza di un prodotto

    (a^2bc^3)^2=(a^2)^2\cdot b^2\cdot (c^3)^2=

    e infine la proprietà a noi ormai nota

    =a^{2\cdot 2}\cdot b^2\cdot c^{3\cdot 2}=a^4b^2c^6

    Dimostrazione della proprietà per potenze di potenze

    La dimostrazione della formula è piuttosto immediata: basta applicare la definizione di potenza prima rispetto all'esponente esterno

    (a^{n})^m=\overbrace{a^n\cdot a^n\cdot ... \cdot a^n}^{m\mbox{ volte}}=

    e poi rispetto all'esponente interno

    =\overbrace{\overbrace{a\cdot a\cdot ...\cdot a}^{n\mbox{ volte}}\cdot \overbrace{a\cdot a\cdot ...\cdot a}^{n\mbox{ volte}}\cdot... \cdot \overbrace{a\cdot a\cdot ...\cdot a}^{n\mbox{ volte}}}^{m\mbox{ volte}}

    Immaginando di contare il numero di occorrenze con cui compare il fattore a, dobbiamo sommare m volte n

    \overbrace{n+n+...+n}^{m\mbox{ volte}}

    Il che, per definizione di moltiplicazione, equivale a calcolare il prodotto n\cdot m. In conclusione

    (a^{n})^m=a^{n\cdot m}

    ***

    Per leggere la spiegazione relativa alle proprietà delle potenze, con tanto di esempi ed esercizi svolti, consigliamo la lettura della pagina del link. Tra le altre cose qui su YM c'è anche un comodo tool per risolvere le potenze online. ;)

    Risposta di Omega
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