Nullità di una matrice

La nullità di una matrice A è la dimensione del nucleo dell'applicazione lineare L_A definita della matrice; in modo equivalente è la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato alla matrice.

Calcolo della nullità di una matrice

Per capire come si calcola la nullità di una matrice dobbiamo ricordare:

- cos'è un'applicazione lineare definita da una matrice;

- come si determina il nucleo di un'applicazione lineare.

Sia una matrice di righe e colonne a coefficienti in un campo

L'applicazione lineare definita dalla matrice viene solitamente indicata con . Per definizione è l'applicazione lineare definita sullo spazio vettoriale e a valori in

che al generico vettore colonna

associa il vettore dato dal prodotto riga per colonna tra la matrice e il vettore

La nullità della matrice , per definizione, è la dimensione del nucleo dell'applicazione lineare :

Il nucleo di è l'insieme degli elementi di che hanno come immagine lo zero di , ossia

Abbiamo già visto che corrisponde al prodotto riga per colonna , quindi:

è invece un vettore colonna con componenti nulle. Di conseguenza la generica equazione matriciale che individua il nucleo di è:

Quest'ultima si traduce nel sistema lineare omogeneo:

Con questa interpretazione calcolare la dimensione del nucleo di (ossia la nullità della matrice ) equivale a calcolare la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato alla matrice .

Esempio sul calcolo della nullità di una matrice

Calcolare la nullità della matrice

Svolgimento: è una matrice rettangolare a coefficienti reali formata da 2 righe 3 colonne, dunque .

Siano allora un generico vettore colonna di e il vettore nullo in :

Sappiamo che la nullità di è la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo

ossia

Svolgiamo il prodotto tra matrici a primo membro

e otteniamo il seguente sistema omogeneo

A questo punto potremmo determinare la dimensione dello spazio delle soluzioni risolvendo il sistema e determinando una base, ma essendo interessati alla sola dimensione possiamo procedere più velocemente. Ci basta ricordare che la dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è pari alla differenza tra il numero di incognite del sistema e il rango della matrice dei coefficienti.

La matrice associata al sistema è quella fornita dalla traccia dell'esercizio

e ha rango 2

infatti la sottomatrice di ordine 2 che si ottiene tralasciando l'ultima colonna ha determinante non nullo

Il numero di incognite del sistema è 3. In definitiva la dimensione dello spazio delle soluzioni è

e tale è la nullità della matrice

Nullità di un'applicazione lineare

La nullità di un'applicazione lineare F non è altro che la dimensione del suo nucleo.

Per calcolare la dimensione del nucleo di un'applicazione lineare si procede in modi diversi a seconda di come essa è definita: ne parliamo in dettaglio nella lezione su dimensione e base del nucleo di un'applicazione lineare.

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Ci fermiamo qui. Come ulteriore spunto ti consigliamo di leggere l'approfondimento sul teorema della nullità più rango. Come vedrai, esso permette di calcolare la nullità di un'applicazione lineare conoscendo la dimensione dello spazio vettoriale su cui è definita e la dimensione dell'immagine dell'applicazione.